Effet d'échelle - Définition

Engins

Engins de transport

L'effet d'échelle détermine en partie le rendement énergétique du transport.

Véhicules

Comparaison automobiles / autocars. À vitesse constante, la traînée totale dépend de la traînée aérodynamique et de la traînée de roulement.

La traînée aérodynamique est fonction de la Surface frontale multipliée par le Cx

automobile, S = 1,80 m², Cx = 0,34, S×Cx = 0,62 m²

autocar, S = 5,8 m², Cx = 0,7, S×Cx = 4,1 m²

Si le car transporte 30 personnes et la voiture 2, on une surface de traînée par personne de 0,13 m² dans l'autocar au lieu de 0,30 m² dans la voiture, malgré l'aérodynamique beaucoup moins profilée du car. La surface frontale, qui est déterminante, augmente moins vite que le volume disponible pour les passagers.

note : l'homothétie n'est pas bien respectée, le car est plus long en proportion.

Navires

Stabilité des voiliers

Sous l'effet du vent, le voilier "gîte" (il penche). L'état d'équilibre est obtenu quand le moment inclinant est égal au moment de redressement. Pour une force de vent donnée :

• le moment inclinant dépend de la hauteur de la voilure et de sa surface, donc varie en L x L² = L³
• le moment de redressement dépend du poids et de la distance horizontale (du bras de levier) entre le centre de carène et le centre de gravité, donc varie en L x L³ = L⁴

La stabilité augmente avec L⁴ / L³ = L. Elle augmente avec le facteur d'échelle : une maquette de voilier au 1/10ème est 10 fois moins stable que le réel. Pour corriger, le modèle réduit doit être davantage lesté que le réel. Les voiliers modèles réduits de compétition (Classe M, longueur 1,27 m) ne sont pas des maquettes de voiliers réels. Ils ont des tirants d'eau (bras de levier du lest) plus que doublés et sont très fortement lestés (torpilles de plomb). Les rapports de lest/déplacement sont beaucoup plus forts qu'au réel (75 % au lieu de 30 %).

Résistance à l'avancement en fonction de la taille

La traînée (résistance à l'avancement) d'un navire dépend de sa surface de frottement avec la mer et de sa traînée de vague.

• La surface mouillée varie avec le carré de la longueur. Plus le navire est grand, plus le ratio surface mouillée (résistance de frottement) sur Déplacement (volume, poids) est faible.
• Le coefficient de frottement diminue quand la longueur et avec la vitesse augmentent. Le calcul à la vitesse de 20 nœuds (10 m/s) donne les ordres de grandeur suivants (x 10⁻³):

longueur 50 m, Cf = 1,70

longueur 100 m, Cf = 1,56

longueur 200 m, Cf = 1,43 (0,00143)

• La traînée de vague varie avec le volume (le cube de la longueur) et dépend aussi de la relation vitesse / longueur, caractérisée par le Nombre de Froude Fn) :

Fn = V / (g × L)^0,5

Quand la vitesse reste constante, plus le navire est grand, plus le système de vagues généré par la coque est réduit, plus le coefficient de traînée de vague est faible.

L'effet d'échelle agit directement sur le bilan de traînée et donc sur le rendement économique : les grands navires (super-tankers, porte-containers) sont les plus économes.

Résistance relative au poids (R / Delta), à la vitesse de croisière :

Grand navire lent (300 m, 15 nds), Fn 0,15, R/D = 0,001 (la résistance vaut le millième du poids)

Bateau de guerre (200 m, 25 nds), Fn 0,30, R/D = 0,030 (30 kg par tonne)

NGV (navire à grande vitesse), Fn 0,70, R/D = 0,080

Vedette; Fn 1.0, R/D = 0.15 (150 kg par tonne, la résistance vaut 15 % du poids).

Essais en bassin des carènes

Les modèles de bassin sont à échelle réduite : la facteur d'échelle est souvent supérieur à 10 ou 20. Les plus grands bassins, comme le B-600 de la DGA à Val-de-Reuil (545 m de long) permettent de passer des modèles jusqu'à 10 m de long, soit le 1/20e d'un bâtiment de 200 m de longueur. Des bassins plus petits, comme celui de l'École centrale de Nantes, longueur 200 m, permettent de passer des modèles de 2 à 3 mètres de long. Le facteur d'échelle peut alors dépasser 50. Les ratios surface/volume du modèle et du réel sont alors très différents, et la décomposition des traînées mesurées l'est également : la traînée de frottement (surface mouillée) est plus importante au bassin.

La traînée mesurée au bassin est une traînée totale Rtot = traînée de frottement (liée à la surface) + traînée de vague (liée au volume).

on détermine d'après le plan des formes la surface mouillée (en statique),

on calcule la traînée de frottement (Rf) théorique de la carène, qui sera extrapolée au carré au réel,

on trouve par soustraction (Rtot - Rf) la traînée de vague, qui sera extrapolée au cube au réel.

La surface mouillée en dynamique étant différente de la surface mouillée statique, il y a là une source d'erreur, spécialement dans le cas des navires rapides :

planants : réduction de la surface mouillée,

non-planants : augmentation de la surface mouillée latérale (vague d'étrave).

Des essais d'optimisation de forme, d'assiette, d'appendices peuvent donner un avantage au bassin que l'on ne retrouvera pas forcément au réel.

Problème des appendices et des petites surfaces portantes (foils): les coefficients de frottement sont très différents entre le modèle et le réel, à cause de la laminarité qui peut être totale sur le modèle (très faible traînée) et de la rugosité beaucoup plus forte au réel. Ces problèmes de laminarité peuvent être réduit par l'ajout de stimulateur de turbulence sur les maquettes.

Modèles réduits, nombres sans dimensions

Particulièrement en mécanique des fluides, les essais portant sur des engins de grandes dimensions (navires, avions, etc.) sont effectués à petite échelle. Plus le facteur d'échelle est important, plus la répartition des différentes traînées (ftrottement, vague) diffère entre le modèle et le réel; l'expression effet d'échelle prend un sens précis.

Par exemple, dans l'étude d'un écoulement autour d'un obstacle le sillage doit comporter, à l'échelle près, le même système d'ondes, de tourbillons ou de turbulence sur le modèle et sur le prototype. Dire que les phénomènes sont semblables revient à dire que certains invariants doivent être conservés lorsqu'on change d'échelle. Ces invariants sont donc des nombres sans dimension qui doivent être construits à partir des grandeurs dimensionnelles qui caractérisent le phénomène (pour plus de précisions, voir Nombre sans dimension#Similitude des modèles réduits).

Parmi ces nombres sans dimension, certains sont des rapports de longueurs : leur conservation caractérise la similitude géométrique qui n'appelle pas de commentaires particuliers. Seuls ceux qui font intervenir des grandeurs physiques présentent ici un intérêt.

Dans certains problèmes, on peut admettre qu'un seul nombre sans dimension doit être conservé. En aérodynamique, c'est assez souvent le cas du nombre de Mach aux vitesses assez grandes pour que la compressibilité de l'air ne soit plus négligeable.

Conditions de similitude

Les conditions de similitude peuvent être incompatibles. Ainsi, lors du déplacement d'une maquette de navire, il faudrait en principe conserver simultanément :

• le nombre de Reynolds pour décrire les frottements sur la coque,
• le nombre de Froude pour décrire le système de vagues et le sillage sur la surface libre.

Une inspection rapide des formules montre qu'une réduction de l'échelle devrait, dans ces conditions, s'accompagner à la fois :

• d'une augmentation de la vitesse du modèle pour satisfaire la similitude de Reynolds,
• d'une réduction de la vitesse pour satisfaire la similitude de Froude.

Dans l'impossibilité de calculer théoriquement ou précisément la traînée de vague (c'est justement pour cela que l'on effectue des essais en bassin), on respecte la similitude de Froude et on calcule la résistance de frottement théorique en tenant compte de l'échelle. Quand le facteur d'échelle est important, toute imprécision du calcul du frottement (surface mouillée, rugosité, étendue de la laminarité plus ou moins bien connues) se traduit par une imprécision encore plus forte de la résistance de vague car elle est extrapolée au cube de l'échelle. Plus le modèle se rapproche du réel, plus les calculs sont précis. C'est cela qui a conduit à la réalisation de bassins d'essais de grandes dimensions (plus de 500 m de longueur).

Avions

Si on augmente la taille d'un avion, la masse augmentant plus vite que la surface, la charge alaire (F/S en Newton/m²) augmente.

F = 1/2 ρ V² S Cz

À coefficient de portance (Cz) identique, il faut en théorie augmenter la vitesse de vol : V devrait suivre la racine du facteur d'échelle : l'avion deux fois plus gros devrait voler 1.4 fois plus vite.

• Limite de vitesse. Si l'on veut rester dans le domaine subsonique (en dessous du mur du son) pour des raisons économiques liées à l'aérodynamique et à la motorisation, on ne peut pas dépasser une vitesse de 0,86 Mach. C'est un véritable mur. Si l'avion est plus grand, donc plus lourd, on ne peut plus jouer que sur la charge alaire.
• or la charge alaire est limitée :

par la traînée aérodynamique en croisière (F/S plus élevée → Cz plus élevé → traînée induite plus forte). Coefficient de traînée induite :

Cxi = Cz² / (π.λ) avec λ = allongement effectif de l'aile

par la complexité, le poids et le coût des systèmes hypersustentateurs (becs et volets),

par les vitesses et les distances de décollage/atterrissage.

L'avion plus grand ne sera plus un simple agrandissement du plus petit : rapportée à son fuselage, son aile sera plus grande.

• Limite d'envergure. Si l'on veut rester dans un encombrement compatible avec les aéroports actuels, on ne peut pas non plus augmenter l'envergure indéfiniment. L'avion plus grand ayant plus de surface, il aura un allongement plus faible.
• Stabilisation. Le dimensionnement des surfaces de stabilisation suit la même loi que celle des surfaces portantes. La vitesse étant limitée, pour garder des moments stabilisants suffisants (forces x distances) il va falloir augmenter les dimensions des surfaces plus vite que l'échelle. L'avion plus grand aura des surfaces d'empennage plus grandes (toutes proportions gardées ) que le plus petit. comparaison A 380 - A320 à chiffrer.
• Comme pour les navires, le Nombre de Reynolds augmente avec la taille, et le Coefficient de frottement diminue. Calcul en croisière (altitude 9 000 mètres, Mach 0.83):

corde d'aile de 3 m, Cf = 2,64 10^-3

corde d'aile de 6 m, Cf = 2,38 10^-3, soit un gain de 10 %

corde d'aile de 9 m, Cf = 2,24 10^-3, soit un gain de 15 %

• La taille humaine étant une constante, il y a des paliers de dimensions associés à des différences de configuration, par exemple :

- largeurs de fuselage pour 2, 3, 4, 5, 6, etc… places de front. Certaines largeurs « bâtardes » ne sont pas intéressantes. La largeur permettant 6 places de front est une des plus économiques : il y a qu'un couloir de circulation (surface perdue) pour 6 passagers.

- hauteur fuselage et aménagement de la section : 1 pont (50 places), 1 pont plus soute (100 à 400 places), deux ponts plus soute (400 à 800 places). La configuration à deux ponts permet un remplissage plus important de la section.

• Remplissage : nombre de sièges rapporté à la circonférence du fuselage (coût en surface mouillée de fuselage par passager). Pour une tranche de fuselage de 1 m de long :

CRJ-700, diamètre 2,69 m, 4 passagers de front, 2,11 m² /passager

Airbus A-320, diamètre 3,96 m, 6 passagers de front, 2,07 m²/passager. Un seul pont, la surface par passager ne diminue pas.

Airbus A-380, ellipse 8,40 x 7,15 m, deux ponts, 10 + 8 = 18 passagers de front, la surface descend à 1,36 m²/passager (gain environ 35 %)

• Charge au sol (nombre de roues). Pour un nombre de roues donné, la surface d'appui au sol augmente moins vite que le poids de l'avion : l'avion plus grand devra augmenter le nombre de ses roues pour conserver une charge au m² (limitée par le matériau de la piste) constante. Nombre de roues du train principal :
  • Airbus A-320 : 4 roues
  • Airbus A-340 : 10 ou 12 roues selon la version
  • Airbus A-380 : 20 roues
• Accélérations en manœuvres. Les plus petits avions, comme le Colomban MC-10, monoplace, 70 kg à vide, ont très peu d'inertie (l'inertie variant avec la puissance 5 de l'échelle). Une manœuvre brutale des commandes peut amener un niveau d'accélération très important, ce qui peut gêner fortement le pilote voire dépasser les limites structurales de l'appareil. La conception des gouvernes (surface, débattement) doit tenir compte de cette particularité liée à l'échelle.

Essais en soufflerie

Vitesse de chute dans l'air

La vitesse finale (stabilisée) est atteinte quand le poids (la masse soumise à la gravité) équilibre le freinage aérodynamique de l'air (qui est lié à la surface frontale). (à suivre)

Ondes sonores

Cloches, fréquence sonore directement reliée à la taille. Idem diapason, instruments à cordes (violon aigus-violoncelle graves), instruments à vent, orgues. (à développer)

Moteurs thermiques

Résistances de frottement rapportée au volume (à la cylindrée), nombre de cylindres, rendement spécifique, (à suivre)