Samedi 14 Décembre 2024
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Formulaire de mécanique - Définition

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- Introduction - Cinématique : le rayon vecteur et ses dérivées successives - Dynamique - Changement de référentiel - Notion de Moment - Aspect énergétique - Oscillateur

Introduction
Optique
Électro- Magnéstatique
Physique quantique
Thermodynamique
Mécanique des fluides
Mécanique
Relativité restreinte
Trou noir
Analyse vectorielle

Cinématique : le rayon vecteur et ses dérivées successives

En coordonnées cartésiennes

\boldsymbol r =x \boldsymbol u_x + y \boldsymbol u_y + z \boldsymbol u_z

La vitesse du point situé en r s'écrit

\boldsymbol v (\boldsymbol r) =\frac{ \text{d} \boldsymbol r}{ \text{d} t }=\frac{\text{d} x}{\text{d} t} \boldsymbol u_x + \frac{\text{d} y}{\text{d} t} \boldsymbol u_y + \frac{\text{d} z}{\text{d} t} \boldsymbol u_z ,

et l'accélération

\boldsymbol a(\boldsymbol r)=\frac{\text{d} \boldsymbol v}{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 \boldsymbol r}{\text{d} t^2}=\frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2} \boldsymbol u_x + \frac{\text{d}^2 y}{\text{d} t^2} \boldsymbol u_y + \frac{\text{d}^2 z}{\text{d} t^2} \boldsymbol u_z .

En coordonnées cylindriques

\boldsymbol r=\rho \boldsymbol u_\rho+z \boldsymbol u_z
\boldsymbol v=\frac{\text{d} \boldsymbol r}{\text{d} t}= \frac{\text{d} \rho}{\text{d} t} \boldsymbol u_\rho+\rho\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t} \boldsymbol u_\varphi +\frac{\text{d} z}{\text{d}t} \boldsymbol u_z .
\boldsymbol a =\frac{\text{d} \boldsymbol v}{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 \boldsymbol r}{\text{d}t^2}=\left(\frac{\text{d}^2 \rho}{\text{d} t^2}-\rho\left(\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\right)^2\right) \boldsymbol u_\rho+\left(2\frac{\text{d} \rho}{\text{d} t}\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}+\rho\frac{\text{d}^2 \phi}{\text{d}t^2}\right) \boldsymbol u_\varphi+\frac{\text{d}^2 z}{\text{d}t^2} \boldsymbol u_z .

Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :

\frac{\text{d} \boldsymbol u_\rho}{\text{d} t}=\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} \boldsymbol u_\varphi ,
\frac{\text{d} \boldsymbol u_\varphi}{\text{d} t}=-\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} \boldsymbol u_\rho .

En coordonnées sphériques

\boldsymbol r=r \boldsymbol u_r ,
\boldsymbol v =\frac{\text{d} \boldsymbol r}{\text{d} t}=\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \boldsymbol u_r+r\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t} \boldsymbol u_\theta+r \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin \theta \boldsymbol u_\varphi ;
\boldsymbol a =\frac{\text{d} \boldsymbol v }{\text{d} t}=\frac{\text{d}^2 \boldsymbol r}{\text{d}t^2}=a_r \boldsymbol u_r+a_\theta \boldsymbol u_\theta+a_\varphi \boldsymbol u_\varphi ,

avec:

a_r=\left(\frac{\text{d}^2r}{\text{d}t^2}-r\left(\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\right)^2+r\left(\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\right)^2\sin^2\theta\right) ,
a_\theta=\left( r \frac{\text{d}^2 \theta}{\text{d}t^2} +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}-r\left( \frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} \right)^2\sin \theta \cos \theta\right)
a_\varphi=\left( r \frac{\text{d}^2 \varphi}{\text{d}t^2}\sin \theta +2\frac{\text{d}r}{\text{d}t} \frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\sin \theta + 2r\frac{\text{d} \varphi}{\text{d} t}\frac{\text{d} \theta}{\text{d} t}\cos \theta\right) .

Dynamique

Quelques forces

  • Poids :
    \boldsymbol P =m \boldsymbol g
  • Interaction électromagnétique :
    \boldsymbol F_{1\rightarrow 2}= \frac{q_1 q_2}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1}{|\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1|^3}
  • Interaction gravitationnelle :
    \boldsymbol F_{1\rightarrow 2}= -G m_1 m_2 \frac{\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1}{|\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1|^3}
  • Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :
    \boldsymbol F = - k \boldsymbol u
  • Frottement fluide :
    \boldsymbol F = -\lambda \boldsymbol v
  • Force d'inertie d'entraînement :
    \boldsymbol f_{\rm i_e}= - m \boldsymbol a_e
  • Force d'inertie de Coriolis:
    \boldsymbol f_{\rm i_c}=-m \boldsymbol a_c

Principe fondamental de la dynamique

  • Vecteur quantité de mouvement :
    \boldsymbol p = m \boldsymbol v (en général)
  • Principe fondamental de la dynamique :
    \frac{\text{d} \boldsymbol p}{\text{d}t}= \sum \boldsymbol F \; +\boldsymbol f_{\rm i_e} + \boldsymbol f_{\rm i_c}
  • Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B,
    \boldsymbol F_{A \rightarrow B} = - \boldsymbol F_{B \rightarrow A}

Changement de référentiel

Soit un point de rayon vecteur r dans un référentiel \mathcal R . Soit un autre référentiel, \mathcal R ', dont l'origine est située au rayon vecteur s dans \mathcal R . Le rayon vecteur du point, déterminé dans \mathcal R ' est alors

\boldsymbol r' = \boldsymbol r - \boldsymbol s .

Les vitesses du point peuvent être mesurées dans \mathcal R ou dans \mathcal R '. Elles sont notées avec l'indice \mathcal R ou \mathcal R ', de même que les accélérations.

  • Vitesse d'entraînement :
    \boldsymbol v_{\rm e} = \dot \boldsymbol s_{\mathcal R} + \boldsymbol \Omega \wedge \boldsymbol r'
  • Loi de composition des vitesses :
    \boldsymbol v_{\mathcal R} = \boldsymbol v'_{\mathcal R'} + \boldsymbol v_{\rm e}
  • Accélération d'entraînement :
    \boldsymbol a_{\rm e} = \ddot \boldsymbol s_{\mathcal R} + \dot \boldsymbol \Omega \wedge \boldsymbol r' + \boldsymbol \Omega \wedge (\boldsymbol \Omega \wedge \boldsymbol r')
  • Accélération de Coriolis :
    \boldsymbol a_{\rm c} = 2 \boldsymbol \Omega \wedge \dot \boldsymbol r'_{\mathcal R'}
  • Loi de composition des accélérations :
    \boldsymbol a_{\mathcal R} = \boldsymbol a'_{\mathcal R'} + \boldsymbol a_{\rm e} + \boldsymbol a_{\rm c}

Notion de Moment

  • Moment cinétique d'un point r par rapport à un point r' :
  • Par rapport à un autre point r'' :
    \boldsymbol L_{\boldsymbol r''}(\boldsymbol r)= (\boldsymbol r - \boldsymbol r'') \wedge m \boldsymbol v(\boldsymbol r) = \boldsymbol L_{\boldsymbol r'}(\boldsymbol r) + m (\boldsymbol r' - \boldsymbol r'') \wedge \boldsymbol v(\boldsymbol r)
  • Moment d'une force F au point de rayon vecteur r' :
    \boldsymbol M_{\boldsymbol r'} = (\boldsymbol r - \boldsymbol r') \boldsymbol F
  • Par rapport à un autre point r'' :
    \boldsymbol M_{\boldsymbol r''}(\boldsymbol r)= \boldsymbol M_{\boldsymbol r'}(\boldsymbol r) + (\boldsymbol r' - \boldsymbol r'') \wedge \boldsymbol F
  • Théorème du moment cinétique :
    \frac{\text{d} \boldsymbol L_{\boldsymbol r'}}{\text{d} t}=\sum \boldsymbol M_{\boldsymbol r'} (\boldsymbol F)\;+\boldsymbol M_{\boldsymbol r'}(\boldsymbol f_{\rm i_e})+ \boldsymbol M_{\boldsymbol r'}(\boldsymbol f_{\rm i_c}) .

Aspect énergétique

  • Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr:
    \delta W =\boldsymbol F \cdot\text{d} \boldsymbol r
  • Travail le long d'un chemin ΓAB :
    \displaystyle W_{A \rightarrow B}=\int_{\boldsymbol r \in \Gamma_{AB}} \delta W(\boldsymbol r)=\int_{\boldsymbol r \in \Gamma_{AB}} \boldsymbol F \cdot\text{d} \boldsymbol l(\boldsymbol r)
  • Puissance :
    \mathcal{P}=\displaystyle \frac{\delta W}{\text{d} t}
  • On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :
    \mathcal{P}= \boldsymbol F \cdot \boldsymbol v
  • Énergie cinétique d'un point matériel :
    E_{\rm c} =\displaystyle \frac{1}{2}m |\boldsymbol v|^2
  • Théorème de l'énergie cinétique :
    \displaystyle \Delta E_{\rm c}=\sum W(\boldsymbol F)\;+W( \boldsymbol f_{\rm i_e})+W(\boldsymbol {f}_{\rm i_c})
  • Énergie mécanique :
    Em = Ec + Ep

Énergie potentielle pour quelques forces conservatives

Chacune de ces énergies est définie à une constante près

  • Pesanteur :
    Ep = mgz
  • Ressort :
    E_{\rm p} = \frac{1}{2}k |\boldsymbol u|^2
  • Force de Coulomb :
    E_{\rm p} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}
  • Gravitation :
    E_{\rm p} = -\frac{G m_1m_2}{|\boldsymbol r_1 - \boldsymbol r_2|}

Oscillateur

Oscillateur harmonique (sans amortissement)

  • Équation différentielle de la forme :
    \frac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2}+\omega_0^2 u=0 .
  • Pulsation propre :
    \omega_0=\frac{k}{m}
  • Période propre:
    T_0=\displaystyle \frac{2\pi}{\omega_0}
  • Solution sous la forme :
    u(t) = Acos(ω0t) + Bsin(ω0t).

Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Oscillateur avec facteur d'amortissement λ

  • Équation différentielle de la forme :
    \frac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2}+2\lambda\frac{\text{d} u}{\text{d} t}+\omega_0^2 u=0
  • Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :
    \Delta=4(\lambda^2-\omega_0^2)
    • Δ < 0, soit λ < ω0, alors
      (régime pseudo-périodique)
      Pseudo-pulsation :
      \Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}  ;
      Pseudo-période :
      T=\displaystyle \frac{2\pi}{\Omega}
    • Δ = 0, soit λ = ω0, alors
      x(t) = (At + B)e − λt (régime critique)
    • Δ > 0, soit λ > ω0, alors
      x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t}+Be^{-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}.t}) (régime apériodique)
  • Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
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