Groupe abélien de type fini

Les groupes abéliens de type fini forment une sous-catégorie particulière d'objets mathématiques de la catégorie des groupes abstraits. Ce sont les groupes qui sont, d'une part, abéliens, c’est-à-dire ceux dont la loi de composition interne est commutative, mais aussi sont de type fini, c’est-à-dire qu'ils sont engendrés par un nombre fini de leurs éléments.

À ce titre, cette notion relève de l'algèbre générale. Toutefois, la notion de groupe abélien, et plus particulièrement ceux qui sont de type fini, est au fondement de la notion de module: La donnée d'un groupe abélien équivaut à celle d'un module sur l'anneau universel qu'est l'anneau Z des entiers relatifs. Les groupes abéliens de type fini participent de ce fait au fondement de l'algèbre commutative.

Un intérêt majeur de l'étude de cette notion est que le fait d'imposer à un groupe d'être abélien et de type fini permet de lui appliquer le théorème de structure des groupes abéliens de type fini: On sait donner de façon élémentaire la liste de tous les types (plus précisément les classes d'isomorphisme) de groupes abéliens de type fini que l'on peut rencontrer. Un résultat analogue pour les groupes abstraits plus généraux, même si on les suppose de type fini, voire de présentation finie, ou bien encore tout simplement fini (voir toutefois «groupe sporadique» à ce sujet), est largement hors de portée. En outre cette liste est très simple au sens où elle ne fait intervenir que les exemples de groupes les plus familiers que l'on rencontre en pratique.

Ainsi ce théorème de structure permet, pour tout objet mathématique satisfaisant les axiomes caractérisant les groupes abéliens de type fini, de se ramener une famille familière d'objets dont on connait la plupart des propriétés. Cela en fait un outil d'étude et de démonstration très efficace. En outre comme les groupes abéliens de type fini sont des objets très familiers, ils ont la propriété d'apparaitre dans de nombreuses branches et questions d'ordre mathématique, qui sont d'autant plus d'applications.

Dans un autre ordre d'idées, la notion de groupe abélien permet de manipuler des constructions comme le produit tensoriel la somme directe (et le produit), le Hom interne, et ces constructions conservent la propriété de finitude satisfaite par les groupes abéliens de type fini. Plus formellement, on obtient ainsi une catégorie stable par des opérations standard. Cela fournit un cadre commode à l'algèbre homologique, et la formation des groupes Tor et Ext.

On retrouve la notion de groupe abélien de type fini dans quelques théorèmes et thèmes centraux en mathématiques, comme le théorème des unités de Dirichlet, le théorème de Mordell-Weil et la conjecture de Mordell, via la conjecture de Mordell-Lang, en géométrie arithmétique, l'homologie simpliciale des CW-complexes de type fini et le groupe de Néron-Severi en topologie algébrique, certains groupes de classes (K-groupes) comme celui des classes d'idéaux d'un corps de nombres, des classes de représentations sur C des groupes finis, ou le groupe des caractères d'un tore algébrique.

Définitions

Les groupes abéliens sont des modules sur l'anneau des entiers relatifs Z (voir plus bas). En conséquence, en plus du vocabulaire classique des groupes, se greffe un vocabulaire spécifique à la théorie des modules :

• Un groupe est dit de type fini s'il admet une famille génératrice finie.

• Dans un groupe, chaque élément engendre un sous-groupe. Ce dernier est soit libre (autrement dit infini), auquel cas il est isomorphe à Z, soit cyclique (c'est-à-dire fini), et dans ce cas isomorphe au groupe Z/nZ (et ce pour un unique entier naturel non nul n). Dans le premier cas on dit que l'élément générateur est libre, ou d'ordre infini. Dans le second cas, on dit que c'est un élément de torsion, ou d'ordre fini.

• Dans un groupe abélien, les éléments de torsion forment un sous-groupe, le sous-groupe de torsion. Si tout élément est de torsion, c'est-à-dire si le sous-groupe de torsion est le groupe abélien tout entier, on dit alors que ce groupe abélien lui-même est un groupe de torsion.

A contrario un groupe non abélien peut être engendré par des éléments de torsion sans que tous ses éléments soient de torsion. Le groupe PSL(2,Z), par exemple, admet une partie génératrice formée d'un élément d'ordre 2 et un élément d'ordre 3, et contient pourtant des éléments d'ordre infini. Le sous-ensemble formé des éléments d'ordre infini ne définit, quant à lui, jamais un sous-groupe : l'élément neutre est toujours d'ordre 1, donc de torsion.

• Un groupe abélien est dit groupe abélien libre s'il admet une base en tant que Z-module. Dans le cas des groupes abéliens de type fini, cela n'est le cas que si le groupe de torsion se réduit à l'élément neutre.

Le groupe additif Q des nombres rationnels a, quant à lui, un sous-groupe de torsion réduit à son élément neutre, le zéro. Il n'admet pourtant aucune base : deux quelconques de ses éléments sont toujours liés, et le groupe Q n'est ni réduit à zéro (cas d'une base vide), ni monogène (ce qui serait le cas s'il avait une base réduite à un seul élément).

• Pour chaque nombre premier p, un élément de torsion d'un groupe abélien est dit de p-torsion si son ordre est une puissance de p. Seul l'élément neutre est de p-torsions pour différents nombres premiers p.

• Le lemme chinois permet de montrer que, dans un groupe abélien, tout élément de torsion se décompose, de manière unique, en somme d'un seul élément de p-torsion pour chaque nombre premier p divisant l'ordre de cet élément de torsion. Le terme associé à chacun de ces nombres premiers s'appelle la p-composante de cet élément.

Cette décomposition peut s'interpréter comme la décomposition du sous-groupe de torsion comme produit de p-groupes. Le théorème de structure des groupes abéliens de type fini (voir ci-dessous) est un résultat analogue qui prend en compte les éléments d'ordre infini.

Exemples

• Z le groupe des entiers est un groupe abélien libre monogène.
• Z ou l est un entier est un groupe abélien libre de type fini.
• Z/a Z est un groupe de torsion monogène.
• Z/a₁ Z x Z/a₂ Z x ... x Z/a_k Z est un groupe de torsion de type fini.
• Z x Z/a₁ Z x Z/a₂ Z x ... x Z/a_k Z est un groupe abélien de type fini.

On remarque que les quatre premiers exemples correspondent à des cas particuliers du cinquième. Les groupes abéliens de type fini sont parfaitement compris en cela qu'ils sont tous isomorphes à une structure de type celui du cinquième exemple.

Soit g un élément de G et n un entier positif. L'expression n.g possède un sens. En effet, elle désigne l'élément de G obtenu par l'addition n fois de g. De même l'expression -n.g signifie l'inverse de n.g ou n fois l'addition de l'opposé de g.

Ces remarques permettent de conclure que Z opère sur le groupe. Il est aisé de vérifier que les axiomes définissant la structure de module sont vérifiés. En conclusion tout groupe abélien de type fini dispose d'une structure naturelle de Z module.

Cette notion permet d'identifier un groupe abélien de type fini avec un Z module. La théorie devient alors analogue à celle des espaces vectoriels. Il est possible de parler de famille génératrice, de famille libre et donc de base. En revanche, le théorème du rang ne s'applique pas. En effet, sur Z/6 Z, la classe de 1 est une génératrice et aucune sous-famille ne l'est, il en est de même de la famille constituée des classes de 2 et 3. Il existe donc deux familles génératrices minimales n'ayant pas le même cardinal.

Un morphisme de groupe est aussi un morphisme de module.

Si G est d'ordre fini, il dispose alors d'une décomposition particulièrement simple:

• Il existe une suite d'entiers strictement positifs (a₁,a₂,...,a_k) tel que G est isomorphe au produit direct des groupes cycliques de cardinal les différents éléments de la suite. De plus il est possible de choisir la suite tel que a*_i+1 divise* a*_i si i est un entier entre 1 et* k - 1.

Il existe donc la suite suivante isomorphe au groupe G:

Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Kronecker, la démonstration est donnée dans l'article détaillé.

Module libre

Un groupe abélien fini considéré comme un Z module ne peut contenir de base. En effet, toute combinaison linéaire de coefficient l'exposant du groupe pour chaque élément d'une famille du groupe est égale à l'élément neutre. Il en va différemment pour les groupes libres.

• Un groupe abélien de type fini est libre si et seulement s'il existe une base du groupe considéré comme un Z module.

On remarque alors que la donnée d'une base fournit directement un isomorphisme entre le groupe et une puissance de Z.

Dans le cas d'un groupe libre de type fini, alors le théorème définissant la dimension, analogue à celui de l'algèbre linéaire s'applique encore:

• Les bases d'un groupe abélien de type fini libre ont toutes le même cardinal.

Ce qui implique que si n est un entier différent d'un autre entier m, alors il n'existe aucun isomorphisme entre Z et Z . La situation, dans le cas des groupes libres est alors analogue à celle des espaces vectoriels.

La théorie des matrices donne alors une condition nécessaire et suffisante pour qu'une famille soit une base :

• Soit B une base d'un groupe G libre de type fini. Une famille F est une base si et seulement si la matrice de passage de B dans F possède un déterminant égal à 1 ou -1.

Certaines autres propriétés analogues aux espaces vectoriels s'appliquent encore:

• Tout sous-groupe d'un groupe abélien libre de type fini est un sous-groupe abélien libre de type fini.

• Tout produit direct fini de groupes abéliens libres de type fini est un groupe abélien libre de type fini.

Théorème général

La configuration générale est, là encore, relativement simple. Elle correspond à une adjonction directe des deux cas précédents. Un groupe abélien de type fini est somme directe de son sous-groupe de torsion et un sous-groupe supplémentaire libre.

• G est la somme directe d'un sous-groupe libre L*_l et d'une famille finie de sous-groupes cycliques* C*_i où* i est un entier compris entre 1 et k. Le cardinal de C*_i divise celui de* C*_i+1 si* i est un entier compris entre 1 et k - 1.

G s'écrit donc de la manière suivante :

Dans le cas où il existe des éléments de torsion, alors il n'existe plus de base. En effet, toute combinaison linéaire d'un élément de torsion non nul, multiplié par l'ordre de la torsion fournit une combinaison linéaire de valeur nulle à coefficients non tous nuls.

Une conséquence directe du théorème est la stabilité des groupes abéliens de type fini par produit direct fini:

• Le produit direct fini de groupes abéliens de type fini est un groupe abélien de type fini.

Le passage au quotient conserve le caractère abélien et de type fini, en effet le morphisme canonique démontre le caractère abélien du groupe quotient car il est surjectif et l'image par ce morphisme d'une famille génératrice est génératrice:

• Le quotient d'un groupe abélien de type fini est abélien de type fini.

Le raisonnement développé pour les sous-groupes de groupes abéliens libres de type fini s'applique sans modification, en conséquence :

• Tout sous-groupe d'un groupe abélien de type fini est abélien de type fini.