Inégalité FKG - Définition

Preuve

Inégalité de corrélation

Modulo des hypothèses d'intégrabilité, dans le cas où l'espace de départ est muni d'une relation d'ordre totale, on a les inégalités suivantes :

Inégalité de corrélation — 

• Soit deux variables aléatoires réelles X et Y définies et croissantes sur un ensemble totalement ordonné, muni d'une mesure de probabilité Alors

• Soit Z une variable aléatoire réelle définie sur un ensemble non nécessairement ordonné, et soit I un intervalle tel que Soit deux fonctions f et g définies et croissantes sur I. Alors

• On considère l'espace produit muni de la probabilité produit Du fait de la monotonie de X et de Y, l'application

est positive ou nulle sur Par conséquent

où la première inégalité découle de la croissance de l'intégrale par rapport à une mesure. La dernière égalité provient de la linéarité de l'intégrale, et du Théorème de Fubini appliqué aux quatre intégrales obtenues à l'aide de la linéarité.

• La deuxième inégalité est une conséquence de la première, en spécialisant à et à puis en appliquant le théorème de transfert. On peut aussi, de manière moins savante, considérer sur le même espace probabilisé Ω, deux variables indépendantes et de même loi, Z et Z', et remarquer que la variable

est positive ou nulle sur Par conséquent

où on a utilisé à plusieurs reprises l'indépendance des deux variables Z et Z', et l'identité en loi de ces deux variables.

Là encore, on peut reformuler la deuxième inégalité sous la forme

et là encore, on peut changer le sens de monotonie d'une ou deux des variables ou fonctions concernées, quitte éventuellement à changer le sens de l'inégalité.

L'inégalité de Tchebychev pour les sommes est une conséquence immédiate de l'inégalité de corrélation ci-dessus : il suffit de considérer le cas particulier où la variable aléatoire réelle Z suit la loi uniforme discrète sur De même, pour obtenir la version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, on choisit, dans l'inégalité de corrélation ci-dessus, une variable aléatoire réelle Z suivant la loi uniforme continue sur [0,1].

Cas fini

On fait la démonstration dans le cas général où l'état global du système fini J est décrit par un élément de L'état d'un élément j de J est décrit par un élément de l'ensemble qui est, comme au paragraphe précédent, un ensemble totalement ordonné muni d'une mesure de probabilité Comme exemple, on peut penser à mais l'inégalité FKG annoncée en début de page correspond au choix du cas particulier :

Le résultat démontré ici est donc (du moins dans le cas où J est fini) plus fort que l'inégalité FKG annoncée.

On suppose, sans perte de généralité, que et on fait une démonstration par récurrence. L'initialisation de la récurrence (cas n=1) a été l'objet de la section précédente : c'est la première version de l'inégalité de corrélation.

On note

l'espérance conditionnelle de X sachant la n-ème coordonnée de ω. On introduit de même . Du fait de la croissance de X et de Y, et de la croissance de l'intégrale (ou de l'espérance conditionnelle), les variables aléatoires et sont croissantes sur donc, en vertu de l'inégalité de corrélation,

D'autre part, par propriété de l'espérance conditionnelle (ou, dans ce cas particulier, à cause du théorème de Fubini),

Considérons maintenant que la n-ème coordonnée de ω est fixée. On travaille alors sur muni de l'espérance correspondant à la mesure produit :

On considère les applications

et

qui sont croissantes sur et qui vérifient

On a donc en vertu de l'hypothèse de récurrence (rang n-1)

Finalement, avec la première inégalité,

A ce stade on a démontré l'inégalité FKG utile au modèle d'Erdos-Renyi, mais on n'a pas encore une inégalité FKG suffisamment puissante pour la théorie de la percolation. C'est l'objet de la section suivante.

Cas infini dénombrable

La démonstration se fait à partir du cas fini, par passage à la limite, en utilisant un théorème de convergence presque sûre pour les martingales à carré intégrable. Voir Grimmett "Percolation", page 36, section 2.2.