Inégalité de Le Cam - Définition
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Introduction
L'inégalité de Le Cam, due à Lucien Le Cam, précise la rapidité de convergence de la loi de la somme d'un grand nombre de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre vers la loi de Poisson. Sa démonstration, élégante et peu calculatoire, illustre la méthode de couplage popularisée par Wolfgang Döblin.
Énoncé
Soit
![S_n=\sum_{k=1}^{a_n}\,X_{k,n}\quad\text{et}\quad\lambda_n\ =\ \mathbb{E}[S_n]=\sum_{k=1}^{a_n}\,p_{k,n}.\](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/6/6541a45bb94abcc6be00442dca3ac601_a96e916a4013b7feeebfcec584b249a5.png)
Alors
Inégalité de Le Cam — Pour tout ensemble A d'entiers naturels,
En particulier, Sn suit approximativement la loi de Poisson de paramètre λ dès que les deux conditions suivantes sont réunies :
En conséquence,
Démonstration
Couplage loi de Bernoulli-loi de Poisson
L'idée est d'exhiber une loi de probabilité μp, sur le plan, dont la première marginale est une loi de Bernoulli, la seconde une loi de Poisson, toutes deux d'espérance p, telle que le poids de la première bissectrice soit maximal. En d'autres termes, il s'agit de construire, sur un espace probabilisé bien choisi, deux variables aléatoires réelles X et Y, X suivant la loi de Bernoulli de paramètre p, Y suivant la loi de Poisson de paramètre p, de sorte que
donc que
Dans le cas Poisson-Bernoulli, cette borne est atteinte en utilisant le théorème de la réciproque, de manière à construire X et Y sur l'intervalle ]0,1[ muni de la mesure de Lebesgue. Ainsi
alors que
En ce cas, X et Y coincident sur les intervalles :
- ]0,1-p[, où les 2 variables valent 0,
- et [e-p,(1+p)e-p[, où les 2 variables valent 1.
Les deux variables diffèrent sur le complémentaire de la réunion de ces deux intervalles, i.e. sur [1-p,1[ \ [e-p,(1+p)e-p[. Ainsi,
et
Conclusion
On se donne une suite de variables aléatoires indépendantes
Ainsi :
- les
- leur somme Sn a donc la loi que nous voulons étudier ;
- les
- Wn suit la loi de Poisson de paramètre
- en particulier, l'approximation proposée pour
On a
et, en échangeant le rôle de Wn et celui de Sn ,
Par ailleurs, comme
on en déduit que
Finalement
Conséquence : paradigme de Poisson
Posons
On a les inégalités :
donc les deux conditions ci-dessus entrainent que
Conséquence : paradigme de Poisson — La somme Sn d'un grand nombre de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre suit approximativement la loi de Poisson de paramètre
![\scriptstyle\ \mathbb{E}[S_n]. \](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/5/5727907d43850533ffb9dab459c30599_fcd46d89adba9157b1d4167ce679b4e5.png)
Remarques
- Cette propriété peut rester vraie si l'on relaxe l'hypothèse d'indépendance, comme on le voit dans le cas du nombre de points fixes d'une permutation tirée au hasard. Le paradigme de Poisson a été généralisé dans de nombreuses directions.
- Le cas particulier an=n, λn=λ/n de l'inégalité de Le Cam précise la rapidité de convergence de la loi binomiale de paramètres n et λ/n vers la loi de Poisson de paramètre λ.
