Loi de Poisson - Définition et Explications

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Espérance, variance, écart type, fonctions génératrices

  • L'espérance d'une loi de Poisson est λ.
  • La variance d'une loi de Poisson est également λ.
  • Son écart type est donc \sqrt{\lambda}.
  • La fonction génératrice (En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par) de la loi de Poisson (En théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de...) est
G_{X} (t) =\ e^{\lambda(t-1)}.
  • La fonction génératrice des moments d'une loi de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques...) est
M_{X}(t)\equiv   \mathbb{E}(e^{tX})=\exp\left(\lambda (e^t-1)\right).

Stabilité de la loi de Poisson par la somme

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres λ et μ, alors X+Y est une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ + μ.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) — Si   X\sim \mathcal{P}(\lambda) et Y \sim \mathcal{P}(\mu) sont indépendantes, alors X+Y \sim  \mathcal{P}(\lambda+\mu)

Diagrammes en bâtons

Comme toute loi de probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) discrète, une loi de Poisson peut être représentée par un diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées,...) en bâtons. Ci-dessous sont représentés les diagrammes en bâtons des lois de Poisson de paramètres 1, 2 et 5.

diagramme  en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 1 diagramme  en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 2 diagramme  en bâtons d'une loi de Poisson de paramètre 5

Lorsque le paramètre λ de la loi de Poisson devient grand, (pratiquement lorsqu'il est supérieur à 5), son diagramme en bâton est correctement approché par l'histogramme (En statistiques, un histogramme est un graphe permettant de représenter la répartition...) d'une loi normale (En probabilité, on dit qu'une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou...) d'espérance et de variance égales à λ (l'intervalle de classe étant égal à l'unité). Cette convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) était mise à profit, avant que les moyens informatiques ne se généralisent, pour utiliser la loi normale en lieu et place de la loi de Poisson dans certains tests.

En littérature

Dans le roman de Thomas Pynchon, L'Arc-en-ciel de la gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.), un des personnages, le statisticien Roger Mexico (Mexico (en espagnol Ciudad de México) est la capitale du Mexique ; elle est située dans les...), utilise la loi de Poisson pour cartographier les zones d'impact des fusées allemandes V2 sur la ville (Une ville est une unité urbaine (un « établissement humain » pour...) de Londres (Londres (en anglais : London - /?l?nd?n/) est la capitale ainsi que la plus grande ville...) durant la bataille d'Angleterre (L’Angleterre (England en anglais) est l'une des quatre nations constitutives du Royaume-Uni....).

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