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Moyenne

Extensions de la notion de moyenne

Au delà des définitions précédentes de moyenne, il existe d'autres approches plus étendues pour cette notion :

Moyenne glissante

La moyenne glissante est une notion statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une...), où la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de...) au lieu d'être calculée sur n valeurs fixes, est calculée sur n valeurs consécutives « glissantes ».

Ce type de calcul est aussi utilisé en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine d'activité scientifique, technique et industriel en rapport avec le traitement automatique de l'information par des...) pour minimiser la taille mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) nécessaire au stockage des valeurs intermédiaires. Différentes formules de moyennes glissantes existent, par exemple pour une moyenne glissante de période n :

 \bar{x}_0 = x_0 (une moyenne glissante de période 0 ne prend qu'un terme)
 \bar{x}_n = \frac{\bar{x}_{n-1} \cdot (n-1) + x_n}{n} (formule de récurrence)

Moyenne réduite

C'est une fonction disponible dans le logiciel (En informatique, un logiciel est un ensemble d'informations relatives à des traitements effectués automatiquement par un appareil informatique. Y sont inclus les instructions de traitement,...) Excel qui sert à exclure des valeurs hors norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme générique...) qui faussent la moyenne. La syntaxe est la suivante : MOYENNE.REDUITE(matrice;pourcentage) La donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) "matrice" est tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) simplement la plage (La Plage est un film anglo-américain réalisé par Danny Boyle en 2000 et adapté du roman The Beach d'Alex Garland) de donnée sur laquelle porte le calcul de moyenne. Le pourcentage (Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction dans un ensemble. Une expression comme « 45 % » (lue « 45 pour cent ») est en réalité la sténographie pour la fraction...) est une donnée qui donne à la fonction l'information sur le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de valeurs à exclure.Ce nombre est arrondi (Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre obtenue, à partir de son développement décimal, en réduisant le nombre de chiffres significatifs. Le résultat est...) au nombre pair le plus proche car la fonction enlève systématiquement un nombre de plus grandes valeurs et un même nombre de plus petite valeurs, ce qui en tout fait un nombre pair de valeurs à exclure.

Moyenne pondérée (On nomme moyenne pondérée la moyenne d'un certain nombre de valeurs affectées de coefficients.)

La moyenne pondérée est utilisée, en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...) pour localiser le barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond) d'un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de...), en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général...) pour déterminer le centre de gravité (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est également le point...) ou en statistique et probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande...) pour calculer une espérance. On la calcule ainsi :

 \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}}

Dans le cas général le poids wi représente l'influence de l'élément xi par rapport aux autres.

A noter qu'il s'agit ici de la moyenne pondérée arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie...). Il existe aussi des versions pondérées des autres moyennes, comme la moyenne géométrique (La moyenne géométrique d'une série statistique quantitative discrète positive non nulle est définie telle que son logarithme est la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs discrètes positives non nulles de la distribution.) pondérée et la moyenne harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les « courants harmoniques », qui sont des perturbations...) pondérée.

Valeur moyenne d'une fonction

Pour toute fonction continue (ou même seulement continue par morceaux) sur un segment [a, b] non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) et non trivial (ie b > a), la valeur moyenne de ? sur [a, b] est le réel m défini par :

m = \frac{1}{b-a} \times \int_{a}^{b} f(x)\, dx

Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en...) de valeurs prises par une fonction intégrable. Elle sert par exemple dans la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant...) en série de Fourier (En analyse, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développé la branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse harmonique.) d'une fonction périodique : c'est la composante constante. En traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux...), pour les signaux périodiques, il s'agit de la composante continue (offset).

On peut aussi, par analogie avec les moyennes pondérées d'un nombre fini de réels, affecter « à chacune des valeurs prises par la fonction » un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel,...) strictement positif. On utilise alors ce que l'on appelle une fonction poids

w:\,\mathbb R \longrightarrow\mathbb R^{+*}

(w pour l'initiale de weight, poids en anglais) :

m_w = \frac{\int_{a}^{b} f(x) \cdot w(x)\, dx}{\int_{a}^{b} w(x)\, dx}.

Ce procédé peut aussi s'utiliser sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert mais borné (ie aucune de ses bornes n'est infinie) où la fonction ?×w est intégrable. On peut citer l'exemple classique servant à montrer l'orthogonalité de la famille des polynômes de Tchebychev :

{2\over \pi}\,\int_{[0,1[}{T_n(x) \cdot T_p(x)\over\sqrt{1-x^2}}\,dx

où la fonction Tn×Tp est continue sur le fermé [0,1] et où la fonction poids est

w:\,\mathbb R \longrightarrow\mathbb R^{+*},\;x\mapsto {1\over\sqrt{1-x^2}}

est intégrable sur [0,1[, et dont l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un...) vaut \pi\over 2.

Nota : Lorsque la fonction est périodique de période T, elle a la même valeur moyenne sur toute période [a, a + T]. Cette valeur commune est appelée valeur moyenne de la fonction. Ainsi la fonction cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme...) est de moyenne nulle, son carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un losange.) de moyenne 1/2.

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