Moyenne - Définition et Explications

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Les différentes moyennes

Selon la manière dont le 'total' des individus est calculé (voir ci-dessus en Statistique), il existe différentes moyennes :

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) « ordinaire », c'est-à-dire la somme des valeurs numériques (de la liste) divisée par le nombre de ces valeurs numériques. Exemple : la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) moyenne des toits d'une rue (La rue est un espace de circulation dans la ville qui dessert les logements et les lieux...).

 \bar{x} = {1 \over n} \sum_{i=1}^n{x_i}

La moyenne arithmétique (La moyenne arithmétique d'une série statistique est la moyenne ordinaire, c'est-à-dire le...) se note A(x) quand des moyennes différentes sont présentes.

Exemple: Si un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...) a pour côtés 3 et 7, alors le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) (c'est-à-dire le rectangle moyen) qui a le même périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du...) P a pour côté la moyenne arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) de 3 et 7, c'est-à-dire 5.

Si les valeurs sont affectées de coefficients, on peut définir la moyenne arithmétique pondérée :

Étant donné un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...)

X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\},

ainsi que les poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la...) non-négatifs correspondants

W = \{w_1, w_2, \dots, w_n\},

la moyenne arithmétique pondérée \bar{x} est calculée suivant la formule :

 \bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} , quotient de la somme pondérée des xi par la somme des poids;

Moyenne géométrique (La moyenne géométrique d'une série statistique quantitative discrète positive non nulle est...)

La moyenne géométrique est définie de la manière suivante :

 \bar{x} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}}

On peut illustrer la moyenne géométrique avec les deux cas suivants :

  1. Si l'inflation d'un pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue...) est de 5% la première année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié...) et de 15% la suivante, l'augmentation moyenne des prix se calcule grâce à la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs 1,05 et 1,15 soit une augmentation moyenne de 9,88% et non grâce à la moyenne arithmétique 10% (réponse intuitive).
  2. Le carré (c'est-à-dire le rectangle moyen à deux côtés égaux) qui a même surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) (le total considéré ici) qu'un rectangle de côtés 3 et 7 a pour côté la moyenne géométrique des deux côtés du rectangle \sqrt[2]{3*7} = 4,5826. (voir le même exemple mais en moyenne quadratique).

La moyenne géométrique se note G(x) quand des moyennes différentes sont présentes.

Il existe une moyenne géométrique pondérée, définie ci-dessous.

Étant donné en ensemble de données

X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\},

ainsi que les poids correspondants

W = \{ w_1, w_2, \dots, w_n\},

la moyenne géométrique pondérée est calculée comme étant:

 \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right)

Moyenne harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique...)

La moyenne harmonique est définie de la manière suivante :

\bar{x} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}

Si un train (Un train est un véhicule guidé circulant sur des rails. Un train est composé de...) fait un trajet aller-retour entre 2 villes à la vitesse (On distingue :) constante v1 pour l'aller et à la vitesse constante v2 au retour, la vitesse moyenne du trajet total n'est pas la moyenne arithmétique des 2 vitesses, mais leur moyenne harmonique.

Exemple: Si un rectangle a pour côtés 3 et 7, alors le carré (c'est-à-dire le rectangle moyen) qui a le même rapport \frac{S}{P} (Surface sur Périmètre) a pour côté la moyenne harmonique de 3 et 7, c'est-à-dire 4,2.

La moyenne harmonique se note H(x) quand des moyennes différentes sont présentes.

Il existe une moyenne harmonique pondérée, définie ci-dessous.

Étant donné en ensemble de données

X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\},

ainsi que les poids correspondants,

W = \{ w_1, w_2, \dots, w_n\}

la moyenne harmonique pondérée est calculée comme étant:

 \bar{x} = \sum_{i=1}^n w_i \bigg/ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}

Moyenne quadratique

La moyenne quadratique, ou RMS (pour Root Mean Square), est définie de la manière suivante :

\bar{x} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^2}}

Exemple: Si un rectangle a pour côtés 3 et 7, le carré (c'est-à-dire le rectangle moyen) qui a même diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non...) (le total considéré ici) que ce rectangle, a pour côté la moyenne quadratique de 3 et 7, c'est-à-dire 5,3852.

La racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le...) de la moyenne du carré des valeurs instantanées d'une grandeur est appelée valeur quadratique moyenne, ou encore (par analogie avec l'électricité) valeur efficace (La valeur efficace (aussi dite RMS ou Root Mean Square) d’un courant ou d'une tension,...).

La moyenne quadratique se note Q(x) quand des moyennes différentes sont présentes.

Comparaison entre les moyennes précédentes

Si a et b sont deux réels strictement positifs tels que a < b, alors on a :

 a < H ( a , b ) < G ( a , b ) < A ( a , b ) < Q ( a , b ) < b \,

Pour démontrer ces comparaisons et les généraliser, on fait appel à la notion de fonction convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...).

Moyenne énergétique

La moyenne énergétique est définie de la manière suivante :

C'est la moyenne de valeurs données en décibels, par exemple en acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des...).

Cas général

Si nous notons *\, la loi de composition (En mathématiques, une loi de composition, ou loi tout court, est une relation ternaire qui est...) qui donne le total pour deux individus, alors la valeur moyenne \bar{x}_* de n individus est la valeur, la même pour tous, qu'ils devraient avoir pour que leur total suivant la loi *\, reste inchangé; c'est donc la solution de l'équation :

\bar{x}_* * \bar{x}_* * ... * \bar{x}_* = x_1 * x_2 * ... * x_n

Cette équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) peut être résolue s'il existe un isomorphisme (que nous noterons \phi \, ) ramenant la loi *\, à l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...).

Rappelons qu'un isomorphisme est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y...) telle que l'image d'un composé est le composé des images, c'est-à-dire que, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) x et tout y :

\phi ( x * y ) = \phi ( x ) + \phi ( y ) \,

Nous pouvons alors écrire :

\bar{x}_* = \phi^{-1} ( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{\phi ( x_i )} ) \,

Cette formule généralise et synthétise tous les cas précédents. Nous retrouvons par exemple :

  • la moyenne énergétique si :
\phi ( x ) = 10^{x / 10} \, ;
  • ou la moyenne géométrique quand :
\phi ( x ) = Ln ( x ) \, .

Un cas particulier important est celui où l'isomorphisme \phi \, est une fonction puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :), c'est-à-dire que, pour tout x :

\phi ( x ) = x^m \,

La moyenne, notée dans ce cas \bar{x}_m, s'exprime alors selon la formule :

\bar{x}_m = \sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^m}}

où l'on retrouve :

  • pour m = 1, la moyenne arithmétique,
  • pour m = 2, la moyenne quadratique,
  • pour m = -1, la moyenne harmonique;
  • lorsque m → 0, la limite de \bar{x}_m est la moyenne géométrique;
  • lorsque m → +∞, la limite de \bar{x}_m est le maximum de la série.
  • lorsque m → -∞, la limite de \bar{x}_m est le minimum de la série.
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