Nombre de Fermat - Définition
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Introduction
Un nombre de Fermat est un entier naturel qui peut s'écrire sous la forme 22n + 1, avec n entier. Le ne nombre de Fermat, 22n + 1, est noté Fn.
Ces nombres doivent leur nom au mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) qui émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse, F5 étant composé, de même que tous les nombres de Fermat jusqu'à F32. On ne sait pas si les nombres à partir de F33 sont premiers ou composés. Les seuls nombres de Fermat premiers connus sont donc F0, F1, F2, F3 et F4.
Ces nombres disposent de propriétés intéressantes, en général issues de l'arithmétique modulaire ; en particulier, Carl Friedrich Gauss a établi un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas si et seulement si n est une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers distincts.
Histoire
En 1640, dans une lettre adressée à Bernard Frénicle de Bessy , Pierre de Fermat énonce, et probablement démontre son petit théorème : « Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers ; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long ». Ce théorème lui permet d'étudier les nombres portant maintenant son nom. Dans cette même lettre, il émet la conjecture que ces nombres sont tous premiers sans parvenir à trouver une preuve « ... je n'ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de cette proposition ». Cette hypothèse le fascine, deux mois plus tard, dans une lettre à Marin Mersenne , il écrit : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 7, 17, 257, 65537... sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part ». Il écrit encore à Blaise Pascal : « je ne vous demanderais pas de travailler à cette question si j'avais pu la résoudre moi-même ». Dans une lettre à K. Digby, non datée mais envoyée par Digby à Wallis le 16 juin 1658, Fermat donne encore sa conjecture comme non démontrée. Toutefois, dans une lettre de 1659 à Caracavi, il s'exprime en des termes qui, selon certains auteurs, impliquent qu'il estime avoir trouvé une démonstration.
Cette conjecture se révèlera fausse, c'est d'ailleurs la seule conjecture erronée de Fermat. Leonhard Euler présente un diviseur de F5 en 1732. Il ne dévoile la construction de sa preuve que quinze ans plus tard. Elle correspond exactement aux travaux de Fermat lui ayant permis de démontrer en 1640 la non primalité des candidats de paramètres 23 et 37 pour les nombres de Mersenne.
Polygone régulier
Carl Friedrich Gauss a établi un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas si et seulement si n est une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers distincts.
Par exemple, le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas puisque 5 est un nombre de Fermat premier ; de même, un polygone à 340 côtés est constructible à la règle et au compas puisque 340 = 22.F1.F2.
