Isopérimétrie - Définition et Explications

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Introduction

La forme d'une bulle de savon est une réponse à une question d'isopérimétrie. Sa géométrie est sphérique car c'est le solide qui englobe le plus vaste volume dans une surface de mesure donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...).

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...), l'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) la plus vaste possible, pour un périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du...) donné. La réponse est intuitive, c'est le disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...). Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) rigoureuse. À cet égard, il ressemble un peu au théorème de Jordan (En mathématiques, le théorème de Jordan est un théorème de topologie...), indiquant qu'une boucle la plus simple possible (sans croisement) divise un plan en deux parties, l'intérieur de la boucle qui est borné, et l'extérieur qui ne l'est pas. En conséquence, on simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple, on cherche le quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère (parfois appelé tétrapleure ou...) ou le triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...) à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus du cercle : c'est le polygone régulier (En géométrie, un polygone régulier est un polygone équilatéral (tous ses...).

L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) aussi une zone d'aire la plus vaste possible pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'un demi-plan, la réponse est le demi-disque. La question du solide de plus grand volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...), enveloppé dans une surface de mesure fixée est naturellement dans le domaine de l'isopérimétrie. La bulle de savon (Qui ne s'est pas un jour ou l'autre émerveillé à la vue des bulles de savon ? Ces petites...), qui cherche à envelopper un volume d'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et...) donné dans la surface la plus petite possible, indique la solution : une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...).

Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, dit isopérimétriques, à des majorations dites inégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appelé quotient isopérimétrique. En dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) 2, l'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètre p et d'aire a vérifie la majoration suivante :

\frac {4 \pi a}{p^2} \le 1

Le terme de gauche, est appelé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et seulement si la surface est un disque.

Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans, ce n'est qu'en 1895, à l'aide de méthodes dérivées du théorème de Minkowski (En mathématiques, le théorème de Minkowski est un résultat concernant la...) que la question est définitivement résolue sous sa forme antique. Ces méthodes permettent de démontrer le théorème isopérimétrique (En géométrie, un théorème isopérimétrique traite d'une question...) et de le généraliser à des dimensions supérieures dans le cas d'une géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...).

Cet article traite uniquement des aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) d'outils mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) plus sophistiqués, sont proposés dans l'article Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) isopérimétrique.

Fragments d'histoire

Didon applique le théorème isopérimétrique pour l'achat du terrain à l'origine de la fondation de Carthage.

La légende raconte que la ville (Une ville est une unité urbaine (un « établissement humain » pour...) de Carthage, fut fondée 814 av. J.-C. par la princesse phénicienne Elissa, surnommée Didon. Elle demanda au roi de Numidie Iarbas l'octroi (L’octroi est une contribution indirecte perçue autrefois par les municipalités...) d'un terrain pour s'y installer. Iarbas, réticent, lui accorda le droit de choisir un lopin de terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...) que pourrait contenir la peau d'un bœuf. La rusée Didon découpa en une fine lamelle la peau, qui devint une longue lanière de 4 km de long. Elle fit étendre cette lanière sur un demi-cercle dont les deux extrémités touchaient la côte, rectiligne à l'endroit où elle se trouvait. La reine avait intuitivement trouvé la solution au problème isopérimétrique dans un demi-plan euclidien. Ce problème est résolu lorsqu'est trouvée la surface la plus grande possible, pour un périmètre donné. Le demi-cercle est en effet la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) que doit suivre la lanière pour délimiter la plus grande surface possible, dans ce cas particulier.

La méthode, consistant à mesurer une surface à l'aide de son périmètre, est fréquente durant l'antiquité grecque. Homère indique que la ville de Troie fait 10 200 pas, indiquant par là qu'en faire le tour demande une marche (La marche (le pléonasme marche à pied est également souvent utilisé) est un...) de 10 200 pas. La solution du problème isopérimétrique dans le plan euclidien est connue par certains depuis le Ve siècle av. J.-C., au moins pour le cas du polygone à n côtés. Il porte le nom de théorème isopérimétrique. À l'époque des grecs, tous ne semblent pas au courant de ce résultat et de ses conséquences. Proclos mentionne le cas de tricherie (La tricherie est le fait de ne pas respecter des règles pour profiter d'avantages. On peut...) de géomètres datant de cette époque. Des terrains étaient divisés en différents lopins de même périmètre mais de surfaces différentes, les géomètres, responsables du partage, obtenaient les plus grosses parcelles. La supercherie fut découverte au moment des moissons, dont l'abondance est proportionnelle à la surface et non au périmètre.

Théon d'Alexandrie (Alexandrie (grec :?λεξ?νδρεια, Copte :...) et Pappus (Pappus d'Alexandrie vécut au IVe siècle après J.C. Il est un des plus important...) attribue à Zénodore les premières démonstrations. Il prouve que parmi tous les polygones à n côtés et même périmètre, seul celui régulier est candidat à être la réponse au problème isopérimétrique. Il découvre aussi que le disque d'un périmètre donné possède une surface supérieure à celle de n'importe quel polygone régulier. Il aurait aussi démontré que la sphère est le solide ayant un plus grand volume que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) polyèdre (Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions ayant des faces planes...) de même surface.

Les mathématiques grecs n'ont pas les moyens d'aller au-delà. Leurs démonstrations restent partielles, même si leurs auteurs n'ont pas conscience de l'aspect incomplet des preuves. Ils ne disposent pas non plus des outils mathématiques qui auraient permis d'aller plus loin. Les mathématiciens arabes s'approprient le savoir des grecs sur cette question. Abū Ja'far al-Khāzin écrit un traité résumant tout le savoir de son époque sur l'isopérimétrie. Ils développent les moyens d'aller plus loin. Nasir ad-Din at-Tusi un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) du XIIIe siècle développe, dans son traité du quadrilatère, suffisamment la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...) pour présenter des preuves complètes dans le cas des triangles ou des rectangles.

Il faut ensuite attendre les mathématiques européennes du XIXe siècle pour d'autres progrès. En 1836, Jakob Steiner obtient un premier résultat nouveau. Sous réserve d'admettre l'existence d'une solution en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 2, alors cette solution est nécessairement le disque. Pour une preuve complète en dimension 2, il faut attendre les travaux de Karl Weierstrass et Hermann Minkowski, elle devient rigoureuse vers 1895. Cette partie de l'histoire est traitée dans l'article théorème isopérimétrique.

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