Tenseur de Riemann - Définition
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sur les tenseurs
Tenseur
Tenseur (mathématiques)
Produit tensoriel
... de deux modules
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Algèbre tensorielle
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Modules
Algèbre extérieure
En géométrie différentielle, le tenseur de courbure de Riemann est la façon la plus courante d'exprimer la courbure des variétés riemanniennes, ou plus générale d'une variété disposant d'une connexion affine, avec ou sans torsion.
Soit deux géodésiques d'un espace courbe, parallèles au voisinage d'un point P. Dans un espace courbe, des géodésiques parallèles en un point ne vont pas forcément le rester en d'autres points de l'espace. Le tenseur de courbure de Riemann exprime l'évolution de ces géodésiques l'une par rapport à l'autre. Plus l'espace est courbe, plus les géodésiques vont se rapprocher ou s'éloigner rapidement.
Définition
Le tenseur de courbure est formulé à l'aide d'une connexion de Levi-Civita (ou plus généralement d'une connexion affine)
Pour tout vecteur u, v et w de la variété :
|
|
![R(u,v)w =\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w -\nabla_{[u,v]} w .](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/4/461317856ee33357e6bacdd676c3efd5_6f209defa08c14430b728def63d21400.png)
où
![[\ ,\ ]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/c/c5f866165522f9acfdb8efa9bd62ac17_cfcd6b5383a4fb0f9a50a6b0e56799b7.png)
Ici R(u,v) est une transformation linéaire selon chacun de ses arguments sur l'espace tangent de la variété.
NB : certains auteurs définissent le tenseur de courbure comme du signe opposé.
Si
Le tenseur de courbure mesure alors la non-commutativité de la dérivée covariante.
La transformation linéaire
En termes de coordonnées, cette équation peut être ré-écrite en utilisant les symboles de Christoffel :
|
Tenseur de Riemann d'une surface
Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann dit « entièrement covariant » Rxyxy qui s'écrit alors, en deux dimensions.
où gxx et gyy sont les coefficients de la métrique en coordonnées de Riemann, c'est-à-dire des coordonnées cartésiennes locales. Pour prendre un exemple, on ne peut utiliser le même système de coordonnées en Australie qu'en France sinon les Australiens auraient la tête en bas (pour nous)!
En coordonnées de Gauss, la formule étant compliquée, nous nous limiterons à une métrique diagonale :
où, pour simplifier l'écriture, la virgule indique une dérivation partielle. guu et gvv sont les coefficients de la métrique en coordonnées de Gauss u et v (le "mollusque" d'Einstein). Les u et v peuvent être remplacés par n'importe quel système de coordonnées, la formule restera valable, par exemple en coordonnées sphériques où u et v sont remplacés par θ et φ. Il peut être pratique d'utiliser la forme en déterminant de la formule précédente, dite de Brioschi :
Pour une métrique non diagonale, la courbure de Gauss est :
![K = \frac{1} {(EG-F^2)^2}\left[ \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix}\right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/2/2cb397604db9faab9261412b16394047_5a2f26b669a93018c0800c41e9f7a9ff.png)
où E = guu, G = gvv et F = guv. Les indices correspondent à des dérivations partielles, sans la virgule utilisée précédemment.
