En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des espaces vectoriels normés réels ou complexes, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité, une propriété topologique, et celle de dimension, une notion algébrique. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz.
Plus précisément, le théorème de Riesz s'énonce de la façon suivante :
Dans ce sens, il s'agit d'un corollaire du théorème de Borel-Lebesgue : tout fermé borné dans Rn est compact. Or si E est de dimension n il s'identifie à Rn (ce fait est détaillé dans l'article Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie).
Pour la réciproque, il est commode d'utiliser la caractérisation des compacts de Borel-Lebesgue.
En effet, en notant B la boule unité de E, on a
où A est l'ensemble (fini) des centres de ces boules.
Soit alors F le sous-espace vectoriel de E engendré par cet ensemble fini A. Montrons que B est incluse dans F.
De
Soit alors
Mais F est un espace vectoriel (réel ou complexe) de dimension finie, donc est fermé :
Dans le cas d'un espace métrique on peut définir la compacité par la propriété de Bolzano-Weierstrass, donnons une démonstration de la réciproque plus élémentaire.
On considère un espace vectoriel E de dimension infinie. Typiquement, on prend
On cherche dans cet espace E une suite (xn) qui n'admette aucune sous-suite convergente, c'est-à-dire qui contredise la propriété de Bolzano-Weierstrass, et qui ainsi démontre que notre espace E n'est pas compact.
La première suite qui vient à l'esprit, c'est la base canonique de E, c'est-à-dire la base formée des vecteurs
Et, effectivement, si
En effet, dans le cas contraire (raisonnement par l'absurde), on pourrait supposer, quitte à extraire une sous-suite que la suite (fj)j converge vers a.
On note tout d'abord que a est non-nul car tous les fj sont de norme 1, donc a aussi.
Il existe donc un vecteur de base
Il nous faut donc trouver l'analogue d'une base orthonormée dans un espace vectoriel E qui n'a pas de produit scalaire. Désormais,
On se donne une famille libre
D'abord, on pose
Puis, pour e1, on procède ainsi. On note E0 l'espace vectoriel de dimension finie engendré par e0 ; c'est de plus un fermé de E. En particulier, il existe un point
On itère ensuite la construction : E1 est engendré par e0 et e1 ; y2 réalise la distance de x2 à E1, etc.
On montre alors que la suite en contredit la propriété de Bolzano-Weierstrass. Par l'absurde, supposons que la suite en admette une valeur d'adhérence a.
Pour aboutir à une contradiction, rappelons quelques propriétés de la distance à un sous-espace vectoriel : si F est un sous-espace vectoriel de l'EVN E et si
On a donc
Or, par définition de ce qu'est une valeur d'adhérence, il existe deux indices n < m, tels que