Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie - Définition
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Quelques théorèmes
La topologie d'un espace vectoriel de dimension finie sur R fait l'objet de nombreux théorèmes. Ils possèdent tous une propriété remarquable : leurs expressions sont à la fois simples et intuitives, en revanche leurs démonstrations sont difficiles et font appel à un large attirail d'outils.
Citons d'abord un ancêtre du théorème de l'invariance du domaine mentionné plus haut :
Théorème de Jordan-Brouwer — Soit φ une application continue et injective, de Sn-1 (la sphère unité de Rn) dans Rn. Alors dans Rn, le complémentaire de l'image φ(Sn-1) est formé de deux composantes connexes, dont l'une est bornée et l'autre non. Toutes deux ont pour frontière l'image de Sn-1.
Ce théorème est démontré en dimension deux par Camille Jordan et il faut attendre 1912 pour qu'il soit généralisé pour toute dimension finie par Brouwer.
Ce dernier a démontré un autre théorème remarquable, lequel peut se déduire du théorème de la boule chevelue:
Théorème du point fixe de Brouwer — Toute application continue de la boule unité de Rn dans elle-même fixe au moins un point.
Un autre théorème lui ressemble un peu. Il permet de montrer que dans un espace euclidien de dimension n, pour tout ensemble de n solides bornés et mesurables, il existe un hyperplan qui coupe chacun des solides en deux parties de volumes égaux. Ce résultat est connu nous le nom de théorème du sandwich au jambon et s'énonce en disant qu'il est toujours possible de couper d'un coup de couteau le sandwich ne manière à ce que le partage des deux morceaux de pain et de la tranche de jambon soit équitable.
Théorème de Borsuk-Ulam — Pour toute application continue de Sn-1 (la sphère unité de Rn) à valeurs dans Rn-1, il existe deux points antipodaux ayant même image.
Enfin, parmi de nombreux résultats techniques permettant d'approximer une fonction, citons ici un célèbre théorème :
Théorème de Stone-Weierstrass — Soit K un compact de Rn. Toute application continue de K dans R est limite uniforme sur K d'applications polynômiales.
Invariance topologique de la dimension
Il n'existe pas d'homéomorphisme entre Rn et Rp si n et p sont différents. La démonstration se fonde sur le théorème de l’invariance du domaine de Luitzen Egbertus Jan Brouwer, aussi appelé théorème de la boule ouverte :
Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer — Soient U un ouvert de Rn et φ une application continue et injective de U dans Rn. Alors l'image de U est ouverte.
Une conséquence directe est que φ est un homéomorphisme.
