Variété abélienne - Définition

Module de Tate

Nous avons vu que sur ℂ, A est un quotient (comme variété analytique) de ℂⁿ par un réseau Λ. Sur un corps k quelconque, il existe un équivalent du réseau Λ, c'est le module de Tate.

Définition Soit l un nombre premier distinct de l'exposant caractéristique de k. On a un système projectif , où les applications de transition sont la multiplication par l. Alors le module de Tate (du nom du mathématicien John Tate) de A est la limite projective, notée T_l(A), de .

Le module de Tate est naturellement un module sur l'anneau ℤ_l des entiers l-adiques.

Proposition T_l(A) est isomorphe à ℤ .

Le groupe de Galois absolu Gal(k^s / k) agit naturellement sur T_l(A) à travers son action sur les points de torsion (qui sont tous définis sur la clôture séparable k^s de k dans ). La structure de T_l(A) en tant que module galoisien est très importante en géométrie arithmétique, lorsque le corps de base k est un corps de nombres par exemple.

Anneaux d'endomorphismes

Soit A une variété abélienne sur k de dimension g. On note End(A) l'ensemble des endomorphismes de A.

Théorème L'ensemble End(A) est naturellement un anneau. Comme module sur ℤ, il est libre de rang au plus 4g.

La structure de l'anneau End(A) est plus simple lorsqu'on permet d'inverser les entiers naturels. On note End^0(A) le produit tensoriel sur ℤ de End(A) par le corps des rationnels Q.

Théorème Si A est isogène au produit avec A_i simples, , et A_i non isogène à A_j si i est différent de j, alors End⁰(A) est isomorphe au produit , où k_i = End⁰(A_i) est un corps gauche de dimension finie sur k, et où M_n désigne l'algèbre des matrices carré d'ordre n.

Polarisation

Lorsque le corps de base k est algébriquement clos, une polarisation sur A est une isogénie de A dans sa duale, associée à un faisceau ample L sur A. Sur les points, cette isogénie est donnée par , où t_a désigne la translation par a.

Sur un corps de base quelconque, une polarisation sur A est une isogénie qui est de la forme sur une clôture algébrique de k.

Une variété abélienne munie d'une polarisation est appelée une variété abélienne polarisée. Le degré de la polarisation est simplement le degré de l'isogénie. Une polarisation principale est une polarisation de degré 1, donc un isomorphe. Une variété abélienne principalement polarisée est une variété abélienne munie d'une polarisation principale. Toute jacobienne de courbe est principalement polarisée (donc isomorphe à sa duale) avec la polarisation définie par le diviseur thêta.

Variété abélienne duale

• Définition Soit A une variété abélienne sur un corps k. On montre que le foncteur de Picard relatif Pic_{A / k} est représentable par un schéma en groupe lisse sur k. Sa composante neutre (composante connexe de l'élément neutre) est une variété abélienne sur k, appelée la variété abélienne duale de A. Elle est parfois notée A'.

• Description Si est un point rationnel, on note par t_a la translation par a. C'est un automorphisme de A (comme variété algébrique, pas comme groupe algébrique, puisque la translation ne conserve pas l'élément neutre). On considère l'ensemble des (classes d'isomorphisme) de faisceaux inversibles L sur A tels que soit isomorphe à L pour tout point rationnel . Lorsque k est algébriquement clos, on note ce sous-groupe Pic⁰(A). Dans le cas général, on note Pic⁰(A) le sous-groupe de Pic(A) des faisceaux inversibles L appartenant à sur une clôture algébrique de k. Alors A'(k) s'identifie à Pic⁰(A).

• Fibré de Poincaré Il existe un faisceau inversible P sur , appelé le Fibré de Poincaré tel que

• La restriction est triviale (i.e. isomorphe à O_A') et appartient à Pic⁰(A_k(a)) pour tout point fermé .

• Le faisceau P est universel dans le sens suivant: pour tout schéma T sur k, et pour tout faisceau inversible L sur vérifiant les propriétés ci-dessus (à la place de P), il existe un unique morphisme tel que soit isomorphe à L.

• Réflexivité La duale de la duale (A')' est isomorphe à A.