Invariant de Runge Lenz
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Dans le cas du mouvement keplerien, il existe, en plus l'énergie mécanique du moment cinétique, trois autres constantes du mouvement, regroupées sous la forme d'un vecteur appelé " vecteur invariant de Runge-Lenz ", ou " vecteur excentricité " :

\mathrm{e} = \mathrm{u} + \frac{\mathrm{L^0} \wedge \mathrm{V}}{G M m^2}

Ce vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...), constant, vérifie entre autres e.L° = 0.

D'après le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de Noether, toute quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la...) conservée est équivalente à une symétrie du problème - cela implique une étude d'ordre théorique sur les groupes de symétrie SO(4) ou SO(3,1).

D'autre part, la contribution d'Hermann à sa découverte est un point (Graphie) d'histoire des sciences (La science, en tant que corpus de connaissances mais également comme manière d'aborder et de comprendre le monde, s'est constituée de façon progressive depuis quelques millénaires. C'est en effet aux époques...) assez controversé.

Symétrie SO(4) et dégénérescence

La dégénérescence et l'existence de e sont liées à cette symétrie dite dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :);

La dégénérescence de l'oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité et électronique, optique. Le modèle de base des oscillateurs est l'oscillateur harmonique : ses oscillations sont décrites...) est liée au fait que z->z² fait passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) du mouvement de Hooke à celui de Kepler. En mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les systèmes physiques, plus...), cela correspond aux formules de passage des polynômes d'Hermite aux polynômes de Laguerre.

En présence d'une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles...) F° constante, le mouvement de l'oscillateur (En physique, un oscillateur est un système manifestant une variation périodique dans le temps (ou pseudo-périodique s'il existe une dissipation d'énergie). Les exemples les plus courants sont...) harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique ou vibratoire (par exemple en électricité : les...) n'est que déplacé : il en résulte que dans le cas de Kepler la symétrie n'est pas tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) à fait levée, et d'ailleurs le mouvement peut s'intégrer via les fonctions elliptiques, mais le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de bifurcations est assez étonnant : c'est l'effet Stark dit classique.

De même, il reste encore de la symétrie dans le cas de deux centres de force identiques fixes : le mouvement est encore intégrable.

Contributions de Hermann à Laplace

Albouy et Chenciner ont travaillé l'historique de la redécouverte de ce vecteur excentricité (Cet article décrit l'excentricité en mathématiques et en psychologie.), qui remonte apparemment à Hermann. Mais on ne sait pas si le problème cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement (celles-ci sont généralement modélisées par des forces et...) suivant avait été résolu : un bateau (Un bateau est une construction humaine capable de flotter sur l'eau et de s'y déplacer, dirigé ou non par ses occupants. Il répond aux besoins du transport maritime ou...) navigue en laissant un phare F à babord, au cap 90° et donc décrit un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment...) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres...) du phare, et son hodographe est un cercle. Mais avec un courant uniforme supplémentaire de valeur u inférieure à la vitesse (On distingue :) V° du bateau, le bateau décrit une ellipse de foyer F : était-ce l'elliptoïde de Hooke ?

Au XVIIIe siècle, l'affaire est entendue, et Laplace utilise le vecteur excentricité pour des calculs de perturbations du mouvement de Kepler.

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