Oscillateur harmonique - Définition et Explications

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Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité et électronique, optique. Le modèle de base des oscillateurs est l'oscillateur harmonique : ses oscillations sont décrites par une fonction sinusoïdale et la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un...) ne dépend que des caractéristiques du système.
Il s'agit d'un modèle. Dans la pratique, ces oscillateurs doivent être entretenus de façon à compenser les dissipations énergétiques.

Oscillateurs mécaniques

Oscillations de translation : système masse-ressort

Mouvement vertical

On peut mettre en oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à...) une masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) soumise à l'action d'un ressort. On peut suivant les cas, réaliser des oscillations verticales ou des oscillations horizontales (en utilisant un dispositif permettant de minimiser les frottements sur le support).

Dans les deux cas, les oscillations sont harmoniques : la fonction du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) x(t) de la position de la masse de part et d'autre de la position d'équilibre (statique) est une fonction sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...). La période est indépendante de l’amplitude (isochronisme des oscillations) : elle ne dépend de l'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa...) du système (masse m) et de la caractéristique de la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un...) de rappel (constante de raideur k du ressort) : T = 2\pi\sqrt\frac{m}{k} .

La constante de raideur k est exprimée en N/m. Pour k = 1 N/m, il faudrait un Newton pour allonger le ressort de un mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du...).

Si les oscillations sont amorties par une force de frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre...) fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette...) (type visqueux à faible vitesse (On distingue :), force en − αv ), l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) différentielle du mouvement peut s'écrire :

m\ddot{x} + \alpha\dot{x} + k x = 0 .

Oscillations de rotation : pendule de torsion (En physique, un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale, fixée à...)

Le dispositif est constitué d'une barre horizontale fixée à un support par l'intermédiaire d'un fil de torsion : ce fil d'acier (L’acier est un alliage métallique utilisé dans les domaines de la construction...) exerce un couple de rappel proportionnel à l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) de torsion qu'on lui impose : -C\theta\,. Sur la barre on peut positionner deux masselottes de façon symétrique de façon à modifier le moment d'inertie.

La période est indépendante de l’amplitude (isochronisme des oscillations). Elle est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par la relation ci-dessous où J désigne le moment d'inertie de la barre munie des masselottes.

T = 2\pi\sqrt\frac{J}{C} .

Equation différentielle : J\ddot{\theta} + \alpha\dot{\theta} + C \theta = 0 .

L'oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité...) comme modèle

Les oscillateurs ne sont généralement pas harmoniques. Mais, dès que l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) potentielle d'un système à une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) possède un minimum en un point (Graphie), on peut l'approximer par l'énergie potentielle d'un oscillateur (En physique, un oscillateur est un système manifestant une variation périodique dans le temps (ou...) harmonique (Dans plusieurs domaines, une harmonique est un élément constitutif d'un phénomène périodique...) au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la...) de ce point. Il faut simplement s'assurer que les oscillations autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) de ce point sont suffisamment petites pour que l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) du puit de potentiel par une parabole (La parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à l'une des...) soit valide.

Pendule simple (En physique, le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité...)

Lorsque les oscillations sont de faible amplitude (Dans cette simple équation d’onde :), l'erreur commise en approximant le puit de potentiel pas une parabole est faible. À titre d'exemple, pour des oscillations telles que l'angle entre la position du pendule et la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le...) est de l'ordre de 20°, l'erreur est de 1 %

potentiel d'un pendule simple et son approximation parabolique
potentiel d'un pendule simple et son approximation parabolique

L'équation du mouvement peut être alors simplifiée et mise sous la forme :

\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0 avec \omega_0^2 = \frac{g}{l},

d'où une période propre T = 2\pi\sqrt\frac{l}{g}.

Oscillateurs électriques

Circuit LC

Un circuit LC en électrocinétique (L'Électrocinétique, est l'étude de circuits électriques et, est surtout celle du déplacement...) est un circuit théorique comportant une bobine idéale : parfaitement inductive(inductance L et résistance nulle) et un condensateur (Un condensateur est un composant électronique ou électrique dont l'intérêt de base est de...) (capacité C). Les deux dipôles sont en outre totalement linéaires, ce qui est le cas avec des bobines à noyau d'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et...) mais qui ne l'est pas pour de bobines avec un noyau ferromagnétique.

Un tel circuit se comporte alors comme un oscillateur dont la période propre est  : T_0 = 2\pi \sqrt{LC}.

De la loi des mailles : u_L + u_C = 0 \,, et des équations caractéristiques des deux dipôles : u_L = L \frac{di}{dt} \, et i = C \frac{du_C}{dt}  \,, on déduit :

LC\frac {d^2u_C}{dt^2}+ u_C = 0, avec u_C = \frac{q}{C} \,.

L'équation différentielle peut donc s'écrire :

L\ddot{q} + q /C = 0 .

Circuit RLC (Un circuit RLC en électrocinétique est un circuit linéaire contenant une résistance...)

Dans un circuit LC réel, on ne peut s'affranchir de la résistance. Celle-ci dissipe de l'énergie par effet joule (L'effet Joule est la manifestation thermique de la résistance électrique. Il se produit lors du...). Dans ce cas, l'équation différentielle qui régit les oscillations (amorties) peut s'écrire : L\ddot{q} + R\dot{q} + q /C = 0 .

Remarque : on peut entretenir les oscillations grâce à un montage dit à résistance négative.

Analogie électro-mécanique

Les oscillations mécaniques avec amortissement fluide, et les oscillations électriques d'un circuit RLC conduisent à deux équations différentielles du second ordre formellement identiques.

\ddot{z} + 2\lambda \dot{z} + \omega_0^2 z = 0 .

Oscillateur générique RLC Masse soumise à un ressort
z q = charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement...) éléctrique x = déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles...)
\dot{z} \dot{q} = i = intensité \dot{x} = vitesse
\ddot{z} \ddot{q} = \frac{\,di}{\,dt} \ddot{x} = accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique,...)
β L = inductance (L'inductance d’un circuit électrique est un coefficient qui traduit le fait qu’un...) propre m = masse du mobile
ρ R = résistance α = coef de frottement
γ \frac{1}{C} = inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) de la capacité k = constante de raideur
T = 2\pi\sqrt\frac{\beta}{\gamma} = période propre T = 2\pi\sqrt{LC} = période propre T = 2\pi\sqrt\frac{m}{k} = période propre
f U = RI : effet Joule f = \alpha  \dot{x} : force de frottement

À voir

  • Systèmes oscillants à un degré de liberté (La notion de degré de liberté recouvre plusieurs notions en sciences et ingénierie :).

Bibliographie

  • Vladimir Damgov, Nonlinear and parametric phenomena. Applications in radiometric and mechanical systems, World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004.
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