Icosaèdre
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Icosaèdre
Icosaèdre
Type Polyèdre régulier
Faces Triangle
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique
 
20
30
12
2
Faces par sommet 5
Sommets par face 3
Isométries Ih
Dual Dodécaèdre (Un dodécaèdre est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.)
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple,...)

Un icosaèdre (Un icosaèdre est un polyèdre à 20 faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.) est un polyèdre (Traditionnellement, un polyèdre est une forme géométrique à 3 dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre provient du grec classique...) à 20 faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de faces.

Icosaèdre régulier

L'icosaèdre régulier est le cinquième solide de Platon, polyèdre composé de 12 sommets et de 20 faces, chacun étant un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination...) équilatéral, et dont 5 se rejoignent à chaque sommet. C'est le polyèdre régulier (Un polyèdre est dit régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de neuf, dont cinq sont convexes et étaient connus de...) convexe ayant le plus grand nombre de faces.

L'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) dièdre est 138° 11' 32.

Si a est la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) d'une arête :

  • La surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure,...) vaut : A=5\sqrt{3}a^2
  • La hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) vaut : a\varphi^2/\sqrt{3}
  • Le rayon de la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points...) inscrite est : a\varphi^2/2\sqrt{3}
  • Le rayon de la sphère circonscrite est : {a\sqrt{1+\varphi^2}\over 2}

\varphi = {(1+ \sqrt5)  \over 2} est le nombre d'or.

  • Le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) vaut : V=\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3=\frac{5}{6}\left (\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right )^2a^3=\frac{5}{6}\varphi ^2a^3

Patrons de l'icosaèdre régulier

Patron de l'icosaèdre régulier

Groupe d'isométries de l'icosaèdre régulier

Fascination de l'icosaèdre

Dans certains jeux de rôle, le dé à 20 faces (abrégé d20) est utilisé pour déterminer le succès ou l'échec d'une action. Ce dé est un icosaèdre.

En biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant. Prise au sens large de science du vivant, elle recouvre une partie des sciences naturelles et de l'histoire...) moléculaire, beaucoup de virus (Un virus est une entité biologique qui nécessite une cellule hôte, dont il utilise les constituants pour se multiplier. Les virus existent sous une forme extracellulaire ou...), comme le virus de l'Herpès (L'herpès est une maladie virale chronique responsable d'éruptions cutanées récidivantes et portée par le virus Herpes simplex. Elle...), ont la forme d'un icosaèdre. Les structures virales sont formées de sous-unités protéiques identiques répétées, et la forme d'un icosaèdre est la forme la plus adaptée pour assembler ces sous-unités, car elle permet un espace maximal pour le génome (Le génome est l'ensemble du matériel génétique d'un individu ou d'une espèce codé dans son ADN (à l'exception de...) viral. En effet, parmi les solides de Platon, l'icosaèdre optimise la place occupée dans la sphère circonscrite.

En remplaçant chaque face de l'icosaèdre par une résistance de 1 ohm, la mesure de la résistance entre deux coins opposés donne 0.5 ohms, et entre deux coins adjacents 11/30 ohms.

La projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) de Fuller (ou carte Dymaxion, crée par Richard Buckminster Fuller) est une projection gnomonique sur un icosaèdre.

Icosaèdre et dodécaèdre

En dépit des apparences, un icosaèdre inscrit dans une sphère occupe moins d'espace (60,54%) qu'un dodécaèdre inscrit dans une sphère (66,49%).

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