Équation linéaire
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Une équation est dite linéaire quand elle s'exprime à l'aide d'une application linéaire. Elle se présente sous la forme u(x)=b, où u est une application linéaire entre deux espaces vectoriels E et F, b est un élément donné de F. On recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par...) l'inconnue x dans E.

La linéarité permet d'effectuer des sommes et des combinaisons linéaires de solutions, ce qui est connu en physiques sous le nom de principe de superposition (En mécanique quantique, le principe de superposition stipule qu'un même état quantique peut possèder plusieurs valeurs pour une certaine quantité...). Les espaces de solutions ont des structures d'espaces vectoriels ou affines. Les méthodes de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les...) s'appliquent et peuvent considérablement aider à la résolution.

Résolution générale

Soient u application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des...) de E dans F, et b appartenant à F. On considère l'équation linéaire (Une équation est dite linéaire quand elle s'exprime à l'aide d'une application linéaire. Elle se présente sous la forme u(x)=b, où u est une application linéaire entre deux...) u(x)=b.

L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités qui...) u(x)=0, dite équation homogène associée a bien entendu pour solution le noyau de u, qui est un sous-espace vectoriel de E.

L'équation complète u(x)=b

  • a des solutions si et seulement si b\in {\rm Im } u
  • dans ce cas l'espace des solutions est un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles...), dirigé par le noyau. En notant x0 une solution particulière de l'équation complète, l'espace solution est de la forme
S=x_0+\ker u=\{x_0+k, k\in \ker u\}

Ce qu'on retient souvent sous la forme " la solution de l'équation complète est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée ".

Relations image-noyau

La résolution de l'équation revient donc à la détermination des espaces image et noyau de u. Le noyau est souvent plus facile à calculer que l'image, mais celle-ci peut être connue dans de nombreux cas grâce au théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à...) suivant.

Théorème d'isomorphisme des supplémentaires du noyau

Soit u application linéaire de E dans F. Soit H un supplémentaire du noyau de u. Alors H est isomorphe à l'image de u. Plus précisément, la restriction de u à H induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force (moteur).) un isomorphisme de H sur Im u.

Corollaire : relation rang-noyau

Avec les mêmes notations si en outre l'espace de départ E est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) finie

\dim \ker u = \dim E - \dim {\rm Im } u

Cette formule est parfois appelée formule du rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le...). Ou même, plus généralement, si le noyau est de codimension finie, cette codimension est égale à la dimension de l'image.

Superposition de solutions

Si on additionne une solution de u(x)=b et une solution de u(x)=c, on obtient une solution de l'équation u(x)=b+c. On peut plus généralement effectuer des combinaisons linéaires de solutions, ce qui porte souvent le nom de superposition en physiques.

Ainsi si on doit résoudre u(x)=b pour un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) b général, on constate qu'il suffit d'effectuer la résolution pour les vecteurs b d'une base de F.

On peut essayer d'étendre la méthode de superposition à des " sommes infinies ", c'est-à-dire des séries. Mais il faut alors justifier qu'on peut effectuer un passage à la limite.

Exemple d'application : interpolation de Lagrange

Soient n+1 scalaires distincts x0, ..., xn et n+1 scalaires y0, ..., yn. La recherche des polynômes P tels que pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) i, P(xi)=yi est appelée problème d'interpolation de Lagrange.

Il s'agit d'un problème linéaire avec

u:\begin{matrix}\mathbb{K}[X]& \longrightarrow &  \mathbb{K}^{n+1}\\ P&\longmapsto & (P(x_0), \dots, P(x_n))\end{matrix}\qquad b=(y_0, \dots, y_n)

Le noyau de u est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) des polynômes nuls en x0, ..., xn

\ker u = \{(x-x_0)\dots(x-x_n)Q(x), Q\in \mathbb{K}(X)\}=(x-x_0)\dots(x-x_n)\mathbb{K}(X)

Il admet pour supplémentaire l'espace \mathbb{K}_n(X) des polynômes de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) inférieur ou égal à n.

En conséquence l'image de u est de dimension n+1, ce qui prouve que u est surjective et que le problème a toujours une solution. En outre

u_1:\begin{matrix}\mathbb{K}_n[X]& \longrightarrow &  \mathbb{K}^{n+1}\\ P&\longmapsto & (P(x_0), \dots, P(x_n))\end{matrix}

est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

On en déduit les résultats d'existence et d'unicité suivants

  • le problème d'interpolation de Lagrange admet toujours des polynômes solutions
  • un seul des polynômes solutions est de degré inférieur ou égal à n
  • les autres s'en déduisent par ajout d'un multiple du polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en...) (X-x0). ... . (X-xn)

Enfin l'isomorphisme u1 peut être utilisé pour obtenir explicitement le polynôme d'interpolation de plus bas degré. Cela revient à déterminer l'antécédent de b par u1. Par linéarité, il suffit de déterminer les antécédents des vecteurs de la base canonique (Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que...) de \mathbb{K}^{n+1}.

Il est donc naturel de faire intervenir le problème d'interpolation élémentaire : trouver

L_j \in \mathbb{K}_n[X]\hbox{ tel que } \forall i,\, 0\leq i \leq n , \, L_j(i)=\delta_{i,j}

On aboutit alors naturellement à l'expression suivante

L_j(X) := \prod_{0\leq i\leq n, i\neq j} \frac{X-x_i}{x_j-x_i}

Et enfin pour le problème d'interpolation complet

P=\sum_{i=0}^n b_j L_j

Dans les équations algébriques

Une équation linéaire à une inconnue x est une équation de la forme ax+b=0 \,a et b sont des réels (ou des complexes). Les réels a et b sont appelés des coefficients, a est le coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi...) devant x et b le coefficient constant. On appelle aussi cette équation, une équation du premier degré à une inconnue.

Une équation linéaire à plusieurs inconnues x, y, z ...est une équation de la forme ax + by + cz + dt... = k   \,a, b, c, ... k sont des réels (ou des complexes). De même ici, a est le coefficient devant x, b le coefficient devant y, ..., k le coefficient constant.

L'ensemble des solutions d'une équation linéaire à n inconnues dont au moins un coefficient autre que le coefficient constant est non nul, est un sous-espace affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) de dimension n - 1.

Cas des équations linéaires homogène

Les équations linéaires homogènes sont celles dont le coefficient constant est nul.

Propriété: si (x, y, z, ....) et (x', y', z', ...) sont deux solutions d'une équation linéaire homogène alors il en est de même de (kx, ky, kz, ...) et (x + x', y + y', z + z', ...).

L'ensemble des solutions d'une équation linéaire homogène à n inconnues dont un coefficient au moins est non nul est un sous-espace vectoriel de dimension n - 1.

Voir aussi : Système d'équations linéaires

Dans les équations différentielles

On parlera ici de fonctions définies sur \mathbb R ou sur \mathbb C à valeurs dans \mathbb R ou dans \mathbb C.

Une équation différentielle linéaire du premier ordre d'inconnue y est une équation de la forme ay + by' = ca, b et c sont des fonctions numériques.

Une équation différentielle linéaire d'ordre n et d'inconnue y est une équation de la forme

a_0 y + a_1 y' + a_2 y'' + ... + a_n y^{(n)}= a_{n+1} \,

a_0 \,, a_1 \,, ... a_n \,, a_{n+1} \, sont des fonctions numériques et y(k) la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément,...) d'ordre k de y.

Si a_0 \,, a_1 \,, ...a_n \,, a_{n+1} \, sont des constantes, on parle d'équation linéaire à coefficients constants.

Cas des équations homogènes

Si an + 1 = 0 on parle d'équation linéaire homogène.

Par exemple l'équation différentielle y" + y= 0 est une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants.

Si y1 et y2 sont solutions d'une équation différentielle linéaire homogène alors il en est de même de ky1 et de y1 + y2;

Si on connaît une solution particulière d'une équation différentielle linéaire, la solution générale est formée de la somme de cette solution particulière avec la solution générale de l'équation linéaire homogène associée.

Suites récurrentes linéaires

Page générée en 0.135 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique