Géométrie non euclidienne - Définition et Explications

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On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.

Les différentes géométries non euclidiennes sont issues de la volonté de démontrer le cinquième postulat (le postulat, après que les quatre autres aient été déclarés des axiomes) qui semblait peu satisfaisant car trop complexe, et peut-être redondant. Ce à quoi Saccheri, procédant par l'absurde, avait échoué à la fin du XVIIe siècle.

Dans les Éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la...), le postulat ressemble à la conclusion d'un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...), mais qui ne comporterait pas de démonstration : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits, et qu'on peut comprendre comme : Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.

Image:para euclide.png

La droite d est la seule droite passant par le point M et parallèle à la droite D. Tout autre droite passant par M (comme par exemple les droites tracées en pointillée) est sécante avec D.

Durant plusieurs siècles, la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les...) a été utilisée sans que l'on mette en doute sa validité. Elle a même été longtemps considérée comme l'archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse.

Le développement des géométries non-euclidiennes

Les géométries à N - dimensions et les géométries non-euclidiennes sont deux branches séparées de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les...), qui peuvent être combinées, mais pas obligatoirement. Une confusion s'est établie dans la littérature populaire à propos de ces deux géométries. Parce que la géométrie euclidienne était à trois dimensions, on en concluait que les géométries non-euclidiennes comportaient nécessairement des dimensions supérieures.

C'est Gauss qui en 1824 avait formulé la possibilité qu'il existe des géométries alternatives à celles d'Euclide. On distingue les géométries à courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) négative, comme celle de Nicolaï Lobatchevsky (1829) et Bolyai (1832) (somme des angles d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...) inférieure à 180°, nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) infini de parallèles possibles à une droite par un point), des géométries à courbure positive comme celle de Riemann (1867) (somme des angles d'un triangle supérieure à 180°, parallèles se rejoignant aux pôles). La géométrie communément appelée " géométrie de Riemann " est un espace sphérique à trois dimensions, espace fini et cependant sans bornes,à courbure régulière, alternative (Alternatives (titre original : Destiny Three Times) est un roman de Fritz Leiber publié en 1945.) au postulat euclidien des parallèles. Riemann a conçu par ailleurs une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) étendue des géométries non-euclidiennes à N - dimensions (conférence de 1854).

L'idée de "géométrie non-euclidienne", sous-entend généralement l'idée d'un espace courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...), mais la géométrie d'un espace courbe n'est qu'une représentation de la géométrie non-euclidienne précise Sommerville dans "Les éléments de la Géométrie Non-Euclidienne" (Londres 1914). Il existe des espaces non-euclidiens à trois dimensions.

Les différents types de géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.)

La géométrie hyperbolique

Lobatchevsky, Felix Klein et Henri Poincaré (Henri Poincaré (29 avril 1854 à Nancy, France - 17 juillet 1912 à Paris) est un mathématicien, un physicien et un philosophe français. Théoricien de génie, ses apports à maints...) ont créé des modèles de géométrie dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) et passant par un même point.

Image:Para lobatchevski.png

Il existe une infinité de droites qui comme d1, d2 et d3 passent par le point M et sont parallèles à la droite D.

Hormis le cinquième postulat, ces géomètries respectent toutes les autres définitions d'Euclide. Une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique,...). Il existe plusieurs modèles de géométrie hyperbolique à deux dimensions : le disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) de Poincaré, le demi-plan de Poincaré (Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nicolaï Lobatchevski.), ...

La géométrie elliptique

Riemann a introduit un autre modèle de géométrie non euclidienne, la géométrie elliptique. Dans ce cas, par un point extérieur à une droite on ne peut mener aucune parallèle. Le modèle est très simple :

Image:para riemann.png

Il n'existe aucune droite passant par le point M et parallèle à la droite D.

  • les points sont les paires de points antipodes d'une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à...).
  • les droites sont les grands cercles (c'est-à-dire dire les cercles ayant le même centre que la sphère).

Espace géométrique, espace représentatif chez Poincaré

" L'espace moteur (Un moteur (du latin mōtor : « celui qui remue ») est un dispositif qui déplace de la matière en apportant de la puissance. Il effectue ce travail à partir d'une...) aurait autant de dimensions que nous avons de muscles " Cette affirmation de Poincaré dans La science et l'hypothèse est la marque de distinction la plus claire entre les deux sortes d'espace qu'il envisage, l'espace géométrique et l'espace représentatif.

Espace géométrique

Pour Poincaré, l’espace géométrique possède les propriétés suivantes:

  1. Il est continu
  2. Il est infini
  3. Il a trois dimensions
  4. Il est homogène, c’est-à-dire que tous ses points sont identiques entre eux
  5. Il est isotrope, c’est-à-dire que toutes les droites qui passent par un même point sont identiques entre elles.

Espace représentatif

Chez Poincaré, l'espace représentatif se manifeste sous une triple forme: l'espace visuel pur, l'espace tactile, l'espace moteur.

Les caractéristiques de l'espace représentatif sont les suivantes :

"Il n'est ni homogène, ni isotrope, on ne peut même pas dire qu'il ait trois dimensions." Pour Poincaré, nos représentations ne sont que la reproduction (La Reproduction. Eléments pour une théorie du système d'enseignement est un ouvrage de sociologie co-écrit par Pierre Bourdieu et Jean-Claude Passeron paru en 1970 aux éditions de Minuit.) de nos sensations (visuelles, tactiles, motrices). Nous ne nous représentons donc pas les corps extérieurs dans l'espace géométrique (continu, infini, homogène, isotrope, à trois dimensions), mais nous raisonnons sur ces corps, comme s'ils étaient situés dans l'espace géométrique. "Il nous est aussi impossible de nous représenter les corps extérieurs dans l'espace géométrique qu'il est impossible à un peintre de peindre, sur un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) plan, des objets avec leurs trois dimensions." " Les axiomes géométriques ne sont (donc) ni des jugements synthétiques a priori, ni des faits expérimentaux. Ce sont des conventions, ... des définitions déguisées... Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre, elle peut simplement être plus commode. "

La quatrième dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) chez Poincaré

Pour Poincaré, l’accès à des objets à quatre dimensions ne saurait être que fortuit et notre base perceptive reste l’espace à 3 dimensions : "Une expérience quelle qu'elle soit, comporte une interprétation dans l'hypothèse euclidienne ".

Si Poincaré envisage un "solide invariable à quatre dimensions", le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) comme quatrième dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...), notion qui existe déjà chez d'Alembert dans son Encyclopédie de 1754, sera surtout développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des...) chez Einstein avec le continuum d'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé...) pseudo-euclidien de Minkowski (espace quadridimensionnel rigide).

Un tel espace-temps peut contenir le devenir d'un être à trois dimensions dans la relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences...), puis variété pseudo-riemannienne avec ses systèmes de coordonnées curvilignes d'espace et de temps en relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels...)[1]. Son intersection avec un espace tridimensionnel donne le "présent" d'un univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.)[2].

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