Calcul vectoriel en géométrie euclidienne
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Cet article traite des opérations portant sur les vecteurs en géométrie euclidienne.

Opérations sur les vecteurs dans le plan et l'espace

Les vecteurs dont il sera question dans cet article sont ceux de l'espace \mathbb R^3 ou du plan \mathbb R^2.

Comme souligné ci-dessus, certaines constructions géométriques sont spécifiques aux vecteurs. Ces constructions géométriques ayant des propriétés communes avec les opérations sur les nombres (addition, multiplication), on adopte une notation similaire.

Produit d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) par un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.)

Le terme " scalaire " désigne ici un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel. Le produit d'un vecteur \vec{u} par un scalaire a est un vecteur noté

a \cdot \vec{u}
  • de même direction et sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) que \vec{u}, mais dont la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme...) vaut
a \cdot ||\vec{u}||, si a > 0
  • de même direction mais de sens contraire que \vec{u}, et dont la longueur vaut
-a \cdot ||\vec{u}||, si a < 0.
  • il s'agit d'un vecteur nul si a = 0

Il s'agit d'une dilatation (La dilatation est l'expansion du volume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'un gaz, il y a dilatation à pression constante ou maintien du volume et augmentation de la pression.) (si |a| >1) ou d'une contraction (si |a| <1), bref d'une homothétie de rapport a.

produit d'un vecteur u par un scalaire a
produit d'un vecteur \rm \vec{u} par un scalaire a

On a

1.\vec{u} = \vec{u}, 0.\vec{u} = \vec{0} et a.\vec{0} = \vec{0}

1 est donc l'élément scalaire neutre, et 0 l'élément scalaire absorbant pour cette opération. Le produit d'un vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les...) des scalaires

(a+b) \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{u}

mais il n'est pas commutatif : la notation \vec{u} \cdot a n'a pas de sens.

Notez que deux vecteurs sont colinéaires (parallèles) si et seulement s’ils sont proportionnels, c'est-à-dire s'il existe un nombre a tel que \vec{u} = a \cdot \vec{v}.

Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} est un vecteur, noté \vec{u}+\vec{v}, qui est construit de la manière suivante :

on amène l'origine du deuxième vecteur à l'extrémité du premier, la somme est le vecteur qui joint l'origine du premier vecteur à l'extrémité de second.

Il s'agit du troisième côté d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est...) formé par les deux premiers vecteurs.

On peut aussi le construire d'une autre manière :

on amène les origines des deux vecteurs en un même point (Graphie), on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du...) un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.) dont les vecteurs sont deux côtés, la somme est alors la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés...) du parallélogramme partant de l'origine.

Dans les deux cas, on place les vecteurs bout-à-bout ; mais si l'origine d'un vecteur correspond à l'extrémité de l'autre, on utilise la méthode du triangle, si les origines sont confondues, on utilise la méthode du parallélogramme.

somme de deux vecteurs
Somme de deux vecteurs

Si l'on a trois points A, B et C, alors on a la " relation de Chasles " :

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

on déduit de cela que

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}

ce qui permet de définir l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes...) d'un vecteur, et donc la soustraction : en posant la notation

-\overrightarrow{AB} = -1 \cdot \overrightarrow{AB}

on a

\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA}

L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même direction, de même longueur, mais de sens opposé.

On a :

\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}

\vec{0} est l'élément neutre de l'addition des vecteurs. L'addition des vecteurs est commutative

\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}

Le produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs :

a \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = a \cdot \vec{u} + a \cdot \vec{v}.

Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux...) de deux vecteurs

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...)

Si \vec{u} et \vec{v} sont deux vecteurs faisant un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) géométrique α, on appelle produit scalaire, et on note \vec{u} \cdot \vec{v}, le nombre (réel) valant :

\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\alpha).

Le produit scalaire est nul si l'un des vecteurs est nul ou si l'angle entre eux est droit (c’est-à-dire si et α = π/2 rad = 90 °), les vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont dans ce cas orthogonaux, strictement positif si l'angle est aigu et strictement négatif si l'angle est obtus.

Cette opération a été introduite pour simplifier les calculs sur les projections orthogonales. En effet si vu est la longueur algébrique de la projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) de \vec{v} sur une droite orientée selon \vec{u} (vu est positif si la projection est dans le même sens que \vec{u}, négatif s'il est dans le sens opposé), alors on a

\vec{u} \cdot \vec{v} = v_u \cdot ||\vec{u}||

Ainsi, si la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme...) de \vec{u} vaut 1, alors la longueur algébrique de la projection orthogonale de \vec{v} sur la droite est \vec{u} \cdot \vec{v}. De la même manière, si uv est la longueur algébrique de la projection de \vec{u} sur une droite orientée selon \vec{v},alors on a

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_v \cdot ||\vec{v}||

produit scalaire de deux vecteurs

Propriétés

  • Le produit scalaire est commutatif
\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}
  • Il est distributif sur l'addition des vecteurs
\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})= \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}
  • Le vecteur nul est l'élément absorbant du produit scalaire
\vec{u} \cdot \vec{0} = \vec{0} \cdot \vec{u} = 0
  • \vec{u} \cdot \vec{u}  s'appelle le  carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même...) scalaire  du vecteur  \vec{u}  et se note  \vec{u}2  ;  ainsi  :   \vec {u}2 = \vec{u} \cdot \vec{u}

  • Le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme
\vec{u}2 = \| \vec{u} \|2     et donc   \sqrt{{\vec{u}}^2} = \| \vec{u} \|
  • Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul
\vec{u} \perp \vec{v}   si et seulement si   \vec{u} \cdot \vec{v} = 0
  • Dans le plan rapporté à une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.) \left ( \vec i, \vec j \right )
\vec u \cdot \vec v=u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y
  • Dans l'espace rapporté à une base orthonormale \left ( \vec i, \vec j, \vec k \right )
\vec u \cdot \vec v=u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y+u_z\cdot v_z

Voir aussi    ( pour une définition générale valable dans toutes les branches des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) )

  • Produit scalaire

Produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en...) de deux vecteurs dans l'espace

Produit vectoriel
Produit vectoriel

Notons tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) d'abord que deux vecteurs non colinéaires \vec{u} et \vec{v} définissent un plan vectoriel ; un troisième vecteur \vec{w} est coplanaire (Étymologiquement, plusieurs objets sont coplanaires si et seulement s'ils sont situés dans un même plan. En géométrie, on distinguera les points coplanaires et...) aux deux précédents si et seulement s'il peut s'écrire comme une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire des deux premiers, c'est-à-dire s'il existe deux réels a et b tels que

\vec{w} = a \cdot \vec{u} + b \cdot \vec{v}

Trois vecteurs non coplanaires forment une base. La base (\vec{u},\vec{v}, \vec{w}) est dite directe si on peut l'imager avec la main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à l’extrémité de l’avant-bras et relié à ce dernier par le poignet. C'est un organe destiné à saisir et manipuler des objets....) droite, \vec{u} étant le pouce, \vec{v} étant l'index et \vec{w} étant le majeur.

On définit le produit vectoriel des deux vecteurs \vec{u} et \vec{v}, noté \vec{u} \wedge \vec{v}, comme étant le vecteur :

  • normal au plan vectoriel de base (\vec{u},\vec{v})
  • dont la norme vaut \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \sin(\widehat{\vec{u},\vec{v}})
  • tel que (\vec{u},\vec{v}, ( \vec{u} \wedge \vec{v} )) forme une base directe.

On étend la définition précédente au cas où \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires en posant :

\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}
  • Voir l'article détaillé Produit vectoriel.

Remarque :

Le produit vectoriel agit sur des objets mathématiques de différentes sortes, soit des vecteurs, soit des pseudovecteurs. Cette distinction est peu importante en base orthonormée (sauf pour les symétries) mais si elle n'est pas faite en base non orthonormée, cela aboutit à des absurdités. On a ce problème en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) avec notamment les champs magnétiques et les moments, qui ressemblent beaucoup aux vecteurs, mais qui sont en fait des pseudovecteurs, et n'obéissent pas aux mêmes règles de calcul.

  • Voir aussi l'article Pseudovecteur

Produit mixte

Définition et propriétés

Étant donnés trois vecteurs \vec u\,, \vec v\, et \vec w\,, on appelle produit mixte de ces 3 vecteurs la quantité :
\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = (\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w\,.

On peut démontrer que l'on a : \left[\vec u, \vec v, \vec w\right] =  \left[\vec v, \vec w, \vec u\right] =  \left[\vec w, \vec u, \vec v\right]\, et :

\left[\vec v, \vec u, \vec w\right] =  \left[\vec w, \vec v, \vec u\right] =  \left[\vec u, \vec w, \vec v\right] =  - \left[\vec u, \vec v, \vec w\right]\,

et aussi :

\left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = \begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z\\v_x & v_y & v_z\\w_x & w_y & w_z \end{vmatrix}

autrement dit : \left[\vec u, \vec v, \vec w\right] = (u_x v_y w_z + v_x w_y u_z + w_x u_y v_z) - (u_z v_y w_x + v_x w_z u_y + w_y u_x v_z)\,

Remarques :

  • Si deux des trois vecteurs sont égaux ou colinéaires, le produit mixte est nul.
  • Le produit mixte de trois vecteurs vrais (en opposition à des pseudovecteurs) est une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) pseudoscalaire.

Application du produit mixte

  • Si les vecteurs \vec u\,, \vec v\, et \vec w\, ont même origine, la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) du produit mixte \left[\vec u, \vec v, \vec w\right]\, est égale au volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) du parallélépipède (En géométrie dans l'espace, les parallélépipèdes sont des hexaèdres dont les six faces sont des parallélogrammes.) construit sur \vec u\,, \vec v\, et \vec w\,, ou encore à six fois le volume du tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) construit sur ces mêmes vecteurs.

Double produit vectoriel

On peut combiner trois vecteurs \vec u\,, \vec v\, et \vec w\, par deux produits vectoriels successifs.
C'est ce qu'on appelle un double produit vectoriel.

Exemple : \vec u \wedge \left(\vec v \wedge \vec w\right)

Attention : comme le produit vectoriel n'est ni associatif, ni commutatif, il est nécessaire d'utiliser comme ici des parenthèses et le résultat va dépendre à la fois de l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées et de l'ordre de présentation des 3 vecteurs.

On peut démontrer (sans difficulté mais assez laborieusement) les 2 formules suivantes :

    \vec u \wedge \left(\vec v\wedge \vec w\right) = (\vec u\cdot\vec w)\ \vec v\ -\ (\vec u\cdot\vec v)\ \vec w
et \left(\vec u \wedge \vec v\right)\wedge \vec w = (\vec u\cdot\vec w)\ \vec v\ -\ (\vec v\cdot\vec w)\ \vec u

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