Ensemble négligeable
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En théorie de la mesure, un ensemble négligeable ou un ensemble de mesure nulle est une partie d'un ensemble mesuré dont la définition dépend de la mesure que l'on utilise ou plutot de sa classe d'équivalence. À un niveau élémentaire, il est possible d'aborder la notion d'ensemble négligeable (En théorie de la mesure, un ensemble négligeable ou un ensemble de mesure nulle est une partie d'un ensemble mesuré dont la définition dépend de la mesure que l'on utilise ou plutot de sa classe d'équivalence. À...) pour un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'espaces (dont la droite réelle) sans avoir à introduire une mesure. Historiquement, la notion d'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme l'énonçait...) négligeable est antérieure.

  • Une partie mesurable N\, d'un ensemble mesurable (X,\, \Omega), mesuré avec la mesure \mu\,, est dite de mesure nulle lorsque \mu(N)=0 \,.
  • Une partie N de X est dite négligeable lorsqu'elle est incluse dans une partie de mesure nulle.

L'ensemble des parties négligeables d'un ensemble mesuré (X,μ) a les propriétés suivantes :

  • Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut...) mesurable d'une partie négligeable a une mesure nulle, conséquence de la monotomie des mesures.
  • Tout sous-ensemble d'une partie négligeable est négligeable.
  • Toute union dénombrable d'ensembles (mesurables) de mesure nulle est mesurable et de mesure nulle, conséquence de la sous-additivité des mesures.
  • Toute union dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable.

A priori, la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) de partie négligeable parait plus forte, car autorise des ensembles non mesurables. Toutefois, il est loisible de compléter la tribu Ω en une tribu Ω' incluant les ensembles négligeables non mesurables, et sur laquelle se prolonge la mesure μ. Il est à remarquer que cette complétion dépend de la définition d'ensembles négligeables. On parle alors de mesure complète ; pour une mesure complète, tout ensemble négligeable est mesurable et donc de mesure nulle.

Éléments historiques

Ensembles négligeables pour la mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.)

Exemples

Dans les espaces \mathbb{R}^n, la mesure généralement utilisée est la mesure de Lebesgue, unique mesure à proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.) près invariante par les isométries. Pour cette mesure, tout singleton a une mesure nulle. Donc, en utilisant la deuxième propriété énoncée ci-dessus, on voit sans difficulté que tout sous-ensemble dénombrable de \mathbb{R}^n est négligeable.

Ainsi, si on note \lambda\, la mesure de Lebesgue sur \R alors \lambda (\mathbb{Q})=0.

Nature des ensembles de mesure de Lebesgue nulle

Contrairement à ce que l'on pourrait croire intuitivement, les parties de \R qui sont de mesure de Lebesgue nulle ne sont pas forcément dénombrables. En effet, l'exemple le plus classique est la réalisation triadique de l'ensemble de Cantor : cet ensemble est un borélien de mesure de Lebesgue nulle mais il n'est pas dénombrable (car il est équipotent à \R). Un autre ensemble remarquable de mesure nulle est l'ensemble de Besicovitch : il contient une droite dans toutes les directions. Il peut être construit de plusieurs façons, notamment comme dual de l'ensemble de Cantor (L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.) "quatre coins".

Presque tout

Une propriété est dite vérifiée par presque tout un ensemble ou presque tous les éléments d'un ensmble si elle est vérifiée par un ensemble vérifiant une des propriétés suivantes:

En théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.)

Si Y est le sous-ensemble de points x d'un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes, si E est un ensemble infini alors  :...) X ne vérifient pas un prédicat (Les prédicats d’une théorie sont les formules qui contiennent des variables libres.) P(x), alors on dit que P est vérifiée pour presque tous les éléments de X si le cardinal de Y est strictement inférieur au cardinal de X.

  • Presque tous les nombres réels sont des irrationnels. En effet, il existe une infinité dénombrable de nombres rationnels et une infinité ayant la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) du continu de nombres réels (voir argument de la diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède diagonales.) de Cantor).

Une partie A de \N est dite asymptotiquement dense si :

\frac{|\{k\in A, k\leq n\}|}{n}\rightarrow 1.
  • Presque tous les entiers sont non premiers. En effet, le densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure...) de nombres premiers inférieurs à un entier n est équivalente à 1/ln(n) quand n tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en...).

Le concept de " presque partout "

Définition

Ce concept d'ensemble négligeable permet notamment de définir le concept de " presque partout ". En effet, si \mu\, est une mesure sur un espace mesurable (On appelle espace mesurable le couple (X,Ω).) (X,\Omega)\,, une proposition P(x)\, dépendant d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) x \in X est dite vraie μ(dx)-presque partout s'il existe un ensemble mesurable A appartenant à \Omega\, tel que :

  1. \{ x / non( P(x) )\} \subset A
  2. \mu(A) = 0 \,

Une propriété P(x)\, est dite vraie presque partout si l'ensemble des points où elle est fausse est de mesure nulle. Ainsi, une fonction f\, sera égale à une fonction g\, μ-presque partout si l'ensemble \mu(\{x / f(x)\ne g(x)\})=0.

Dans un ensemble ayant la puissance du continu, un ensemble dénombrable (Un ensemble E est dit dénombrable s'il est équipotent à l'ensemble des entiers naturels , c'est-à-dire s'il existe une bijection de E sur  ; cela équivaut à...) est de mesure nulle. C'est ce résultat qui permet d'affirmer que la fonction qui à un réel lui associe 1 si le réel est rationnel, 0 s'il est irrationnel, est nulle presque partout.

L'ensemble de Cantor est un exemple de sous-semble indénombrable de [0,1] mais de mesure nulle. Presque tous les réels entre 0 et 1 sont hors de l'ensemble de Cantor.

Exemple

  • Si f:(X,\Omega,\mu) \rightarrow \R_{+} est une fonction d'un espace mesuré (X,\Omega,\mu)\, à valeurs positives telle que f\, est intégrable au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant...) de Lebesgue , alors :
\int_{X}{f.d\mu} =0 \, si et seulement si f = 0\, µ-presque partout.

" Presque sûrement "

En probabilités, on préfère en général parler d'une propriété vraie presque sûrement, au lieu d'utiliser l'expression " presque partout ". Une propriété est vraie presque sûrement lorsqu'elle est vérifiée dans un ensemble dont la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de nombreuses...) est égale à 1. La probabilité étant une mesure et l'espace mesurable ayant une probabilité de 1, c'est bien un cas particulier de la situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il...) précédente.

Dans l'espace probabilisé (Un espace probabilisé est un triplet formé d'un ensemble Ω, d'une tribu ou σ-algèbre sur Ω et d'une mesure P sur cette σ-algèbre telle...) \left(\Omega, \mathcal B, P\right) (ensemble Ω, d'une tribu \mathcal B sur Ω et mesure P sur cette σ-algèbre telle que P(Ω) = 1), la propriété R est vraie presque sûrement s'il existe un ensemble mesurable A appartenant à \Omega\, tel que :

  1. \{ x / non( P(x) )\} \subset A
  2. P(A) = 0 \,

Ce qui est équivalent à dire que P(Ω\A)=1, par propriété des probabilités.

La notion de propriété vérifiée presque sûrement entraîne celle de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) presque sûre en convergence de variables aléatoires.

(X_n)_{n\in\mathbb{N}} converge presque sûrement vers X\, ssi P(\{\omega/\lim_{n\rightarrow\infty} X_n(\omega)=X(\omega)\})=1.. La convergence presque sûre implique les autres propriétés de convergences usuelles en théorie des probabilités (La Théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Les objets centraux de la théorie des probabilités sont les variables aléatoires, les processus stochastiques, et...) (convergence en probabilités et convergence en loi). En ce sens, elle est la plus "forte" des lois de convergence.

L'expression presque tout intervient couramment dans différents domaines des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...). Il peut avoir un sens probabiliste, topologique ou ensembliste. En général, le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu traditionnellement de l'analyse...) précise le sens de l'expression.

En topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).)

Dans un espace de Baire (Un espace topologique est dit de Baire (du nom du mathématicien René Baire) si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si une union dénombrable de fermés...), presque tous les points vérifient une propriété lorsque l'ensemble des points la vérifiant contient l'intersection dénombrable d'ouverts denses. Par le théorème de Baire (Un espace topologique est dit de Baire (du nom du mathématicien René Baire) si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un...), cette intersection est non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) et dense.

  • Presque tous les réels sont des irrationnels.
  • Presque toutes les fonctions continues [0,1]\rightarrow\R sont non dérivables.
  • Presque tous les points de \R sont des valeurs régulières d'une fonction différentiable f:M\rightarrow \RM est un segment de \R où n'importe quelle variété compacte.
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