Méthode de Monte-Carlo - Définition et Explications

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On appelle méthode de Monte-Carlo toute méthode visant à calculer une valeur numérique, et utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Le nom de ces méthodes fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo.

Les méthodes de Monte-Carlo sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales en dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) plus grandes que 1 (en particulier, pour calculer des surfaces, des volumes, etc.)

La méthode de simulation de Monte-Carlo permet aussi d'introduire une approche statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon....) du risque dans une décision financière. Elle consiste à isoler un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de variables-clés du projet (Un projet est un engagement irréversible de résultat incertain, non reproductible a...) telles que le chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) d'affaires ou la marge... et à leur affecter une distribution de probabilités. Pour chacun de ces facteurs, on effectue un grand nombre de tirages aléatoires dans les distributions de probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) déterminées précédemment, afin de déterminer la probabilité d'occurrence de chacun des résultats.

Le véritable développement des méthodes de Monte-Carlo s'est effectué, sous l'impulsion de John von Neumann (John von Neumann (né Neumann János, 1903-1957), mathématicien et physicien...) et Stanislas Ulam notamment, lors de la Seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) Guerre mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Notamment, ils ont utilisé ces méthodes probabilistes pour résoudre des équations aux dérivées partielles.

Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...)

Nous disposons de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) de l'espérance mathématique (L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est l'équivalent en...) d'une fonction g de variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une...) X, selon laquelle

E(g(X)) = g(x)fX(x)
Ω

fX est la fonction de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...). Ceci peut être étendu aux probabilités discréte en sommant grâce à une mesure ν discréte, de type Dirac.

L'idée est de produire un échantillon (De manière générale, un échantillon est une petite quantité d'une matière, d'information, ou...) (x1,x2,...,xN) de la loi X, et de calculer un nouvel estimateur dit de Monte Carlo, à partir de cet échantillon.

Cet estimateur est construit à partir de la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) empirique, qui comme chacun sait est un estimateur sans biais de l'espérance: \tilde{g_n}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} g(x_i)

Ceci est l'estimateur de Monte Carlo. Nous voyons bien qu'en remplaçant l'échantillon par un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de valeurs prises dans le support d'une intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...), et de la fonction a intégrer, nous pouvons donc construire une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) de sa valeur, construite statistiquement.

Exemples

Résolution du Problème du voyageur de commerce

La résolution du TSP demande du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...), et des algorithmes compliqués. La méthode de Monte-carlo (Le terme méthode de Monte-Carlo désigne toute méthode visant à calculer une...) peut fournir dans ce cadre une méthode de résolution efficace.

Détermination de la valeur de π (pi)

Cette méthode est proche de celle de Buffon.

Soit un point (Graphie) M de coordonnées (x,y) 0

On tire aléatoirement les valeurs de x et y.

Si x2 + y2 < 1 alors le point M appartient au disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...) de centre (0,0) de rayon 1.

La probabilité que le point M appartienne au disque est π/4.

En faisant le rapport du nombre de points dans le disque par rapport au nombre de tirage on obtient une approximation du nombre π/4 si le nombre de tirage est grand.

Détermination de la superficie (L'aire ou la superficie est une mesure d'une surface. Par métonymie, on désigne souvent...) d'un lac (En limnologie, un lac est une grande étendue d'eau située dans un continent où il...)

Cet exemple est un classique en vulgarisation de la méthode de Monte-Carlo. Soit une zone rectangulaire ou carrée dont la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) des côtés sont connus. Au sein de cette aire se trouve un lac dont la superficie est inconnue. Grâce aux mesures des côtés de la zone, on connaît l'aire du rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...). Pour trouver l'aire du lac, on demande à une armée de tirer X coups de canon de manière aléatoire sur cette zone. On compte ensuite le nombre N de boulets qui sont restés sur le terrain, on peut ainsi déterminer le nombre de boulets qui sont tombés dans le lac : X-N. Il suffit ensuite d'établir un rapport entre les valeurs :

\frac{\mathrm{superficie}_{~\mathrm{terrain}}}{\mathrm{superficie}_{~\mathrm{lac}}} = \frac{X}{X-N}
\Longrightarrow \qquad \mathrm{superficie}_{~\mathrm{lac}} = \frac{(X-N)}{X} \ \times \ \mathrm{superficie}_{~\mathrm{terrain}}

Par exemple, si le terrain fait 1000 m2, que l'armée tire 500 boulets et que 100 projectiles sont tombés dans le lac alors la superficie du plan d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les...) est de : 100*1000/500 = 200 m2.

Estimation de la surface du lac grâce à des tirs d'artillerie aléatoires

Bien entendu, la qualité de l'estimation s'améliore en augmentant le nombre de tirs et en s'assurant que les artilleurs ne visent pas toujours le même endroit mais couvrent bien la zone. Cette dernière remarque est à mettre en parallèle avec la qualité du générateur aléatoire qui est primordiale pour avoir de bons résultats dans la méthode de Monte-Carlo. Un générateur biaisé est comme un canon qui tire toujours au même endroit : les informations qu'il apporte sont réduites.

Application au modèle d'Ising

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