Analyse en composantes principales - Définition

Applications

Compression

L'Analyse en Composantes Principales est usuellement utilisée comme outil de compression linéaire. Le principe est alors de ne retenir que les n premiers vecteurs propres issus de le diagonalisation de la matrice de corrélation (ou covariance), lorsque l'inertie du nuage projeté sur ces n vecteurs représente q_n pourcents de l'inertie du nuage original, on dit qu'on a un taux de compression de 1 - q_n pourcents, ou que l'on a compressé à q_n pourcents. Un taux de compression usuel est de 20 %.

Les autres méthodes de compressions statistiques habituelles sont:

• l'analyse en composantes indépendantes ;
• les cartes auto-adaptatives (SOM, self organizing maps en anglais) ; appelées aussi cartes de Kohonen ;
• l'Analyse en composantes curvilignes ;
• la compression par ondelettes.

Il est possible d'utiliser le résultat d'une ACP pour construire une classification statistique des variables aléatoires X₁, …, X_N, en utilisant la distance suivante (C_{n, n'} est la corrélation entre X_n et X_n'):

Analyse de séries dynamiques d'images

L'ACP, désignée en général dans le milieu du traitement du signal et de l'analyse d'images plutôt sous son nom de Transformée de Karhunen-Loève (TKL) est utilisée pour analyser les séries dynamiques d'images, c'est-à-dire une succession d'images représentant la cartographie d'une grandeur physique, comme les scintigraphies dynamiques en médecine nucléaire, qui permettent d'observer par gamma-caméra le fonctionnement d'organes comme le coeur ou les reins.

Dans une série de P images, chaque pixel est considéré comme un point d'un espace affine de dimension P dont les coordonnées sont la valeur du pixel pour chacune des P images au cours du temps. Le nuage ainsi formé par tous les points de l'image peut être analysé par l'ACP, (il forme un hyper-ellipsoïde à P dimensions) ce qui permet de déterminer ses axes principaux.

En exprimant tous les points dans le repère orthogonal à P dimensions des axes de l'ACP, on passe ainsi de la série temporelle d'origine (les pixels représentent la valeur en fonction du temps) à une nouvelle série (également de P images) dans l'espace de Karhunen-Loève : c'est la Transformée de Karhunen-Loève, qui est une opération réversible : on parle de "TKL" et de "TKL inverse" ou "TLK^-1".

La compression est possible car l'information est contenue presque entièrement sur les premiers axes de l'ACP. Mais la notion de "compression" sous-entend que les autres images correspondant aux autres axes sont volontairement ignorées. La TKL étant réversible, la suppression arbitraire des axes les moins énergétiques constitue alors un filtrage permettant de réduire le bruit temporel de la série d'images.

Concrètement, l'application de TKL + suppression des axes les moins significatifs + TKL^-1 permet de supprimer le fourmillement apparent (bruit temporel) d'une série animée d'images.

En imagerie médicale fonctionnelle, on améliore ainsi la qualité visuelle de la visualisation scintigraphique du cycle cardiaque moyen.

Par ailleurs, l'analyse de l'importance respective des valeurs propres de l'ACP permet d'approcher le nombre de fonctionnements physiologiques différents. On a ainsi pu montrer que le coeur sain peut être entièrement représenté avec 2 images (2 axes de l'ACP contiennent toute l'information utile), alors que pour certaines pathologies l'information utile s'étale sur 3 images.

Analyse d'images multi-spectrales

Comme pour l'application précédente, la longueur d'onde remplaçant juste le temps, la TKL a été proposée à plusieurs reprises pour extraire l'information utile d'une série d'images monochromes représentant les intensités pour des longueurs d'ondes différentes. De telles images peuvent être issues de microscopie optique classique, confocale ou SNOM (Microscope optique en champ proche).

Evolution de la topographie

De la même manière, la TKL permet de mettre en évidence des cinétiques différentes lors de l'analyse topographique dynamique, c'est à dire l'analyse de l'évolution du relief au cours du temps. Elle permet alors de déceler des phénomènes invisibles par simple observation visuelle, mais se distinguant par une cinétique légèrement différente (par exemple pollution d'une surface rugueuse par un dépôt).