Balistique
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Introduction


La balistique est la science qui a pour objet l'étude du mouvement des projectiles.

Domaines d'étude

On distingue :

  • la balistique intérieure, dont l'objet est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) des phénomènes se produisant à l'intérieur du canon (mouvement du projectile, détente des gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme...)...)
  • la balistique extérieure, dont l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par...) est le mouvement d'un projectile à l'extérieur du canon. À courte portée, on peut ignorer la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) du sol et utiliser la formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes...) décrite plus bas. Cependant la description de la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) d'un missile (Un missile est un projectile autopropulsé et guidé, constitué de :) balistique (La balistique est la science qui a pour objet l'étude du mouvement des projectiles.) à longue portée exige une correction tenant compte de la courbure terrestre (La courbure terrestre - nommée aussi dépression - définit l'horizon visuel apporté par la rotondité ou sphéricité de la Terre. Elle limite la vision (théorique) lointaine par...).
  • la balistique terminale, dont l'objet est l'étude du projectile lorsqu'il frappe la cible (comportement différent selon les types de tirs : tirs à « bout touchant », à « bout portant » - à moins de 50 cm - et à « longue distance »).

Approche mathématique de la balistique extérieure

Balistique.jpg

La balistique est l'étude d'un objet au voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la...) du sol. L'objet subit alors trois forces, son poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à l'opposé de la résultante des...) m\vec{g}, la poussée (En aérodynamique, la poussée est la force exercée par le déplacement de l'air brassé par un moteur, dans le sens inverse de l'avancement.) d'Archimède \vec{F} et le frottement (Les frottements sont des interactions qui s'opposent à la persistance d'un mouvement relatif entre deux systèmes en contact.) de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est nécessaire de...) \vec{f}.

Si on peut négliger le frottement de l'air (vitesse faible de l'objet), on a un cas particulier d'un mouvement uniformément accéléré (MUA), car l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur...) \vec{a} = \vec{g} + \vec{F}/m est constante.

Si la poussée d'Archimède est négligeable (objet de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure à 4 °C pour les...) très supérieure à celle de l'air), l'accélération est alors égale à celle de la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la...), exprimée par la constante g orientée vers le bas : \vec{a} = \vec{g}.

Si on étudie le mouvement d'un objet à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière...) d'une planète (Une planète est un corps céleste orbitant autour du Soleil ou d'une autre étoile de l'Univers et possédant une masse suffisante pour que sa gravité la maintienne en...) sans atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :), il n'y a ni poussée d'Archimède, ni frottement de l'air et \vec{a} = \vec{g} = \mbox{constante} pour toute vitesse (On distingue :) initiale à condition que l'altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et biogéographique qui...) et la distance parcourue soient très inférieures au rayon de la planète, sinon \vec{g} n'est plus constant et la trajectoire n'est plus parabolique, mais elliptique : le projectile a alors la trajectoire d'un satellite (Satellite peut faire référence à :).

Si \vec{a} = \mbox{constante}, et si v0 est la vitesse initiale, faisant un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) α par rapport à l'horizontale, la position \vec{r}(t) à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) t est .

\vec{r}(t) = \frac{1}{2} \vec{a} t^2+\vec{v_0}t+\vec{r_0}

avec \vec{r_0} = \vec{r}(0)

Dans un repère orthonormé (Oxyz), orienté en sorte que (Oz) soit vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.) vers le haut, et (Oy) perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la notion de...) à \vec{v_0}, on a alors (a > 0) :

\ \ a_x = 0
\ \ a_y = 0
\ \ a_z =-\ \ a

puis :

\ \ v_x = v_0 \cos \alpha
\ \ v_y = 0
\ \ v_z(t) =- a \,t + v_0 \sin\alpha

puis :

\ \ x(t) = v_0 \cos\alpha~t
\ \ y = 0
z =- \frac{a}{2}\,t^2 + v_0 \sin\alpha~t + z_0

La trajectoire parabolique (Une trajectoire est dite parabolique si le mouvement d'un corps dans l'espace décrit une parabole.) correspondante dans un repère (Oxz) est alors  :

z =-\ \frac{a}{2 (v_0 \cos\alpha)^2 }~x^2 + \tan\alpha~x + z_0

La portée atteinte par le projectile à l'horizontale s'exprime par ( ici il ne s'agit pas de vecteurs ) :

p = \frac{{v_0}^2 \sin(2\alpha)}{2a} + \sqrt{\frac{({v_0}^2 \sin(2\alpha))^2}{4a^2}+ \frac{2z_0(v_0 \cos\alpha)^2}{a}}

Si z0 = 0 :

p = \frac{{v_0}^2 \sin(2\alpha)}{a}

On voit que, pour une portée p cherchée, deux valeurs complémentaires de α donnent une solution s'il y en a. La plus grande (supérieure à 45°), donne un tir plongeant, l'autre un tir tendu.

L'altitude maximale atteinte par le projectile est   z_M = \frac{{(v_0 \sin(\alpha))}^2}{2a} + z_0 .

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