Connexion de Ehresmann - Définition

Introduction

En géométrie différentielle, une connexion de Ehresmann (d'après le mathématicien français Charles Ehresmann qui a le premier formalisé ce concept) est une version de la notion de connexion qui est définie sur des fibrés. En particulier, elle peut être non-linéaire, puisqu'un espace fibré n'a pas de notion de linéarité qui lui soit naturellement adaptée. Cependant, une Connexion de Koszul (parfois aussi appelée connexion linéaire) en est un cas particulier. Un autre cas important sont les connexions principales sur un fibré principal, dans les quelles la connexion est équivariante (en) sous l'action naturelle d'un groupe de Lie.

Introduction

Rappelons d'abord qu'en géométrie différentielle, une connexion de Koszul (ou dérivée covariante) est un opérateur différentiel linéaire qui prend la dérivée directionnelle de la section d'un fibré vectoriel de façon covariante. Cela permet de formuler la notion de section d'un fibré parallèle à la direction d'un vecteur : une section s sera parallèle au vecteur X si ∇_Xs = 0. Et donc une dérivée covariante fournit deux choses principales : un opérateur différentiel "et" une notion de ce que signifie être parallèle à une direction.

Une Connexion de Ehresmann laisse tomber complètement l'opérateur différentiel et définit axiomatiquement une connexion en termes de section parallèle dans chaque direction (). Spécifiquement, une connexion de Ehresmann fixe un sous-espace vectoriel dans chaque espace tangent de l'ensemble du fibré. Ce sous-espace vectoriel est appelé l'"espace horizontal". Une section s est dite horizontale (c'est-à-dire parallèle) dans la direction X si ds(X) appartient à l'espace horizontal. Ici, nous considérons s comme une fonction s : M → E de la base M vers le fibré E, de telle sorte que ds : TM → s_* TE est alors l'opérateur différentiel associé entre les espaces tangents. Il est parfois appelé le "pushforward". L'ensemble des espaces horizontaux forme un sous-fibré vectoriel de TE.

Ceci a l'avantage immédiat de rendre une '"Connexion de Ehresmann"' définissable sur une classe de structures bien plus large que les fibrés vectoriels. En particulier, elle est bien définie sur les fibrés au sens général du terme. De plus, la plupart des traits de la dérivée covariante sont préservés : transport parallèle, courbure, et holonomie.

Ce qui manque à une '"connexion de Ehresmann"' par rapport à une connexion de Koszul, mis à part la linéarité, c'est la "covariance" Avec la dérivée covariante classique, la covariance apparaît comme une propriété a posteriori de la dérivation. Pour la construire, on définit la loi de transformation des symboles de Christoffel — qui ne sont pas covariants — et ensuite la covariance générale de la dérivée en résulte comme une conséquence. Mais pour une "connexion de Ehresmann", il est possible d'imposer dès le début un principe de covariance généralisé par l'introduction d'un groupe de Lie qui agit sur les fibres du fibré. La condition adéquate à satisfaire est que, dans un certain sens, les espaces horizontaux soient équivariants sous l'action du groupe.

En touche finale, signalons qu'une "connexion de Ehresmann" peut être représentée comme une forme différentielle, à peu près de la même manière qu'une forme de connexion. Si le groupe agit sur les fibres et que la connexion est équivariante, alors la forme sera aussi équivariante. De plus la forme de connexion permet de donner une définition de la courbure qui soit aussi une forme de courbure.