Entier naturel - Définition et Explications

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Arithmétique

Représentation des opérations

En représentant chaque entier par une collection d'objets (des cailloux ou des jetons par exemple), l'opération d'addition est représentée par la réunion de deux collections, tandis que la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un...) revient à retirer une collection d'une autre. Cette représentation montre bien l'impossibilité de soustraire (dans les entiers naturels) un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) à un autre strictement plus petit.

La multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) de deux entiers naturels correspond au remplissage d'un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) dont deux côtés adjacents représentent chacun l'un des facteurs.

La division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par...) euclidienne d'un entier (appelé dividende) par un autre (appelé diviseur et nécessairement non nul) est illustrée par le rangement de la collection représentant le dividende en un rectangle dont un côté représente le diviseur. Le nombre de rangées complètes représente alors le quotient tandis que l'éventuelle rangée incomplète représente le reste, nécessairement inférieur strictement au diviseur.

Multiple et diviseur

Étant donné un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en...) non nul, l’ensemble de ses multiples est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a...) mais régulièrement réparti et facile à décrire par une suite arithmétique (En mathématique, une suite arithmétique est une suite définie sur à valeurs dans un groupe additif E telle qu'il existe un élément de appelé raison pour lequel :). Par exemple, les multiples de 2 sont les nombres pairs, qui sont alternés avec les nombres impairs parmi tous les entiers.

Au contraire, l’ensemble des diviseurs d’un entier non nul est toujours fini et sa répartition n’a pas du tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le même genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres diviseurs à partir d’une écriture du nombre dans une base donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...).

Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par un autre. Dans un système de numération (Un système de numération est un ensemble de règles d'utilisation des signes, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer des nombres. Sous leur forme écrite, ces derniers sont...) positionnelle décimale, plusieurs critères de divisibilité sont connus pour de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est essentiellement la division euclidienne qui permet de répondre à cette question.

Nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul...)

Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet donc au moins deux diviseurs distincts. Ceux qui en admettent exactement deux sont appelés nombres premiers. Ils sont les seuls à pouvoir réduire d’autres nombres par division, sans être eux-mêmes décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en existe une infinité et chaque nombre se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Cette décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie,...) permet entre autres de comprendre la structure de l’ensemble des diviseurs.

Désignation

Énonciation

La désignation des entiers dans le langage n'est pas la même d'une langue à l'autre, même si elle se fonde en général sur quelques méthodes simples.

Les premiers entiers ont un nom spécifique sans lien les uns avec les autres. En français, il s'agit des entiers de un à dix (les noms des entiers de onze à seize sont en fait des déformations de noms composés). Certaines langues n'ont pas de mot spécifique au-delà de deux.

L'accolement de deux noms peut désigner le résultat de l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les...) (comme dans « dix-sept ») ou de la multiplication (comme dans « quatre-vingts ») des entiers correspondants. D'autres procédés existent utilisant la soustraction, la division ou la protraction.

Certains « grands » nombres reçoivent également un nom spécifique, en général certains puissances d'une base particulière. La base dix est la plus répandue aujourd'hui, mais la désignation des entiers en français par exemple conserve la trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du...) d'un usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) partiel (Le mot partiel peut être employé comme :) de la base vingt. Des conventions internationales contradictoires proposent des désignations standardisées pour les cent premières puissances de mille ou du million (Un million (1 000 000) est l'entier naturel qui suit neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf (999 999) et qui précède un million un (1 000 001). Il vaut un millier...).

Au-delà des limites imposées par le vocabulaire, la langue ne peut que proposer des désignations par accolement : « mille milliards de milliards… »

Écriture chiffrée

Si l'écriture des entiers a beaucoup varié dans l'histoire des civilisations, elle est aujourd'hui presque partout fondée sur un même système de notation décimale positionnelle, même si la graphie des chiffres peut subir des variations plus ou moins importantes d'un pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²), subdivision de la civitas gallo-romaine. Comme la civitas qui subsiste le plus souvent...) à l'autre.

Chaque entier naturel se décompose de façon unique en une somme de multiples de puissances de dix, de façon à ce que chaque coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une...) multiplicateur soit strictement inférieur à dix, donc représenté par l'un des dix chiffres arabes (Les chiffres arabes, qui furent d'abord utilisés en France puis dans toute l'Europe et enfin dans le monde entier, ont été empruntés aux Arabes, qui les avaient eux-mêmes empruntés aux Indiens.) de 0 à 9. L'écriture de ce nombre se fait alors en accolant ces chiffres rangés par ordre décroissant des puissances de dix correspondantes.

L'intérêt majeur de cette écriture est la simplicité conjointe des algorithmes de calcul pour les quatre opérations arithmétiques élémentaires.

Codage (De façon générale un codage permet de passer d'une représentation des données vers une autre.)

La pratique du calcul a pu s'appuyer sur la manipulation de cailloux ou d'autres symboles concrets, d'abord pour symboliser une unité par caillou, puis en différenciant la valeur des symboles (un coquillage dénotant par exemple dix cailloux).

La notation positionnelle (La notation positionnelle est un procédé d'écriture des nombres, dans lequel chaque position est reliée à la position voisine par un multiplicateur, appelé base du système de numération. Chaque position peut être...) a permis de différencier les valeurs des symboles en fonction de leur position et non plus leur nature, ce qui s'est traduit par le développement de l'abaque et du boulier. Ce principe est toujours en vigueur dans les calculatrices et ordinateurs.

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