Entier naturel - Définition et Explications

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Ensemble des entiers naturels

Notations

La notation historique de l'ensemble des entiers naturels en imprimerie est « N », lettre capitale grasse. En écriture manuscrite (et particulièrement au tableau noir), ce caractère a été distingué du symbole de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut aussi...) « N » par le doublement de la première barre verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.). Cette notation est rentrée dans l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) dactylographique malgré les oppositions de mathématiciens de renom. La police blackboard gras propose un doublement de la barre oblique (Une barre oblique : «/», ou, en jargon informatique, un slash, est un caractère typographique.).

N = \mathrm{I_{\,}\!\!N} = \mathbb{N} = \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \}

\mathbb{N}^* = \mathbb{N}_1 = \{ 1, 2, \ldots \}

Pour lever l'ambiguïté au sujet de la prise en compte de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...) comme entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier peut...), l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) est parfois noté « N0 ». L'indice 1 dénote alors au contraire l'exclusion de zéro. Mais l'usage consacre plus souvent pour cette restriction l'ajout d'un astérisque en exposant (Exposant peut signifier:).

Dans le cadre de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des ordinaux, l'ensemble des entiers naturels est un ordinal limite noté par la lettre minuscule grecque ω (oméga), voire ω0 avec l'indice 0 comme pour le premier cardinal infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.)0.

Propriétés

Les opérations d'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs...) et de multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) étant associatives, commutatives, munies de neutres et satisfaisant une propriété de distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite), l'ensemble des entiers naturels est un semi-anneau.

Il est ordonné pour la relation d'ordre usuelle induite par l'addition, qui lui donne une structure de bon ordre, c'est-à-dire que toute partie non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) admet un plus petit élément. Cette propriété est à la base du raisonnement par récurrence.

L'ensemble est également muni de la relation de divisibilité qui est un ordre partiel (Le mot partiel peut être employé comme :).

Son cardinal est le plus petit nombre cardinal (En mathématiques, les nombres cardinaux, ou simplement cardinaux, généralisent les nombres entiers naturels pour pouvoir « compter » les éléments d'un ensemble, même infini. On...) infini, noté ℵ0 (aleph zéro), définissant ainsi la notion de dénombrabilité.

Axiomatique de Peano

Quelle que soit la façon d'introduire les entiers naturels, ceux-ci ont les mêmes propriétés fondamentales à partir desquelles on développe l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique...). Les axiomes de Peano (Les axiomes de Peano sont, en mathématiques, un ensemble d'axiomes de second ordre proposés par Giuseppe Peano pour définir l'arithmétique [1].) sont un ensemble d'axiomes de second ordre proposés par Giuseppe Peano (Giuseppe Peano (Spinetta di Cuneo, 27 août 1858 - Turin, 20 avril 1932) était un mathématicien italien. Il a inventé une langue artificielle issue du latin : le Latino sine flexione.) pour définir l'arithmétique. Ils sont au nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de cinq :

  1. l'élément appelé zéro et noté: 0, est un entier naturel.
  2. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn.
  3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
  4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
  5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N.

Le premier axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité...) permet de poser que l'ensemble des entiers naturels n'est pas vide, le troisième qu'il possède un premier élément et le cinquième qu'il vérifie le principe de récurrence.

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