Espace localement convexe - Définition

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- Définition - Continuité d'une fonction - Critère de séparation - Espace de Fréchet - Métrisabilité

Définition

Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

la topologie de E peut être définie par une famille de semi-normes ;
le vecteur nul possède une base de voisinages formée de convexes.

Dans ce cas, la famille de semi-normes peut toujours être choisie filtrante.

(1) $\Rightarrow$ (2)

En effet toute semi-norme sur E est une fonction convexe et donc pour tout R>0 l'ensemble des x de E vérifiant p(x)<R est convexe.

(2) $\Rightarrow$ (1)

Soient T la topologie de E, supposée vérifier (2), et T' celle, moins fine, définie par la famille de toutes les semi-normes sur E continues pour T.

Il s'agit de prouver qu'inversement,

. Il suffit pour cela de montrer que tout T-voisinage V de 0 contient un T' -voisinage de 0.

Or pour un tel V, par continuité de l'application

, il existe un réel α>0 et un T-voisinage W de 0, que l'on peut supposer convexe d'après (2), tels que

| λ | < α

V contient alors l'ensemble Ω défini par

De plus, Ω est voisinage de 0 (donc absorbant), convexe, et équilibré. Sa jauge est donc une semi-norme continue sur E, dont la boule de centre 0 et de rayon 1/2 est par conséquent un T' -voisinage de 0. Or cette boule est incluse dans Ω, donc dans V.

Continuité d'une fonction

Soient $(E,\mathcal P),(F,\mathcal Q)$ deux espaces localement convexes, dont les topologies sont respectivement définies par des familles de semi-normes $\mathcal P$ (supposée filtrante) et $\mathcal Q$ (quelconque), et f une application du premier espace dans le second. La proposition suivante résulte des définitions.

Proposition —

f est continue en un point v de E ssi

$\forall q \in\mathcal Q\quad \forall \epsilon >0 \quad \exists p\in \mathcal P\quad\exists \alpha >0\quad\forall w\in E\quad p(w-v)<\alpha\quad\Rightarrow\quad q(f(w)-f(v))<\epsilon\$ .

f est uniformément continue sur E ssi

$\forall q\in\mathcal Q\quad\forall\epsilon >0\quad\exists p\in\mathcal P\quad\exists\alpha >0\quad\forall v \in E\quad\forall w\in E\quad p(w-v)<\alpha\quad\Rightarrow\quad q(f(w)-f(v))<\epsilon\$ .

Par exemple (en prenant $F=\R$ et $\mathcal Q=(|\ |)$ ), toutes les semi-normes appartenant à $\mathcal P$ sont uniformément continues sur E (car 1-lipschitziennes). Une semi-norme q sur E est en fait uniformément continue ssi elle est continue en 0, ce qui équivaut à l'existence d'une semi-norme $p\in\mathcal P$ et d'une constante C>0 telles que $q\le C\ p$ . On en déduit un analogue pour les applications linéaires :

Proposition — Une application linéaire $T:E\to F$ est uniformément continue ssi elle est continue en 0, ce qui se traduit par :
$\forall q \in\mathcal Q\quad\exists p\in\mathcal P\quad\exists C >0\quad\forall v \in E\quad q(T(v))\le C\ p(v)\$ .

Critère de séparation

Théorème — Pour qu'un espace localement convexe E défini par une famille $\quad (p_i)_{i \in I}$ de semi-normes soit séparé, il faut et il suffit que pour tout vecteur non nul $\quad v\in E$ il existe une semi-norme $\quad p_i$ telle que $\quad p_i(v) \ne 0$ .

En effet, un espace vectoriel topologique est séparé ssi l'intersection des voisinages de 0 est réduite au singleton {0}, autrement dit ssi pour tout vecteur v non nul, il existe un voisinage de 0 ne contenant pas v.

Espace de Fréchet

Un espace de Fréchet est un espace localement convexe qui est à la fois métrisable et complet au sens des espaces uniformes, ou plus simplement : un espace localement convexe complètement métrisable (c'est-à-dire dont la topologie est induite par une distance complète).

Métrisabilité

Théorème — Soit E un espace localement convexe séparé, dont la topologie est définie par une famille $\mathcal P$ de semi-normes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

E est métrisable.
Tout point de E possède une base dénombrable de voisinages.
La topologie de E peut être définie par une sous-famille dénombrable $\mathcal D\subset\mathcal P$ de semi-normes.
La topologie de E peut être définie par une famille dénombrable filtrante de semi-normes.
La topologie de E peut être définie par une distance invariante par translation.

On a clairement $5\Rightarrow 1\Rightarrow 2$ .

$2\Rightarrow 3$

Soit $(V_n)_{n\in\N}$ une base de voisinages de 0. Chaque $V n$ contient une boule de la forme $B_{q_n}(0,r_n)$ , où $r n > 0$ et $q_n=\max_{p\in\mathcal D_n}p$ pour une certaine partie finie $\mathcal D_n\subset\mathcal P$ . La topologie définie par la sous-famille dénombrable $\mathcal D=\cup_{n\in\N}D_n$ est évidemment moins fine que celle de E, mais également plus fine, par construction.

$3\Rightarrow 4$

Soit $(p_n)_{n\in\N}$ une suite de semi-normes définissant la topologie de E. En posant $q_n=\max_{k\le n}p_k$ on obtient une suite filtrante de semi-normes définissant la même topologie.

$4\Rightarrow 5$

Soit une suite filtrante de semi-normes définissant la topologie de E ; posons pour tous $\quad u,v\in E,$

(C'est bien un max : le sup est atteint car la suite est positive et tend vers 0.) Les premier et troisième axiomes d'une distance (symétrie et inégalité triangulaire) sont clairement vérifiés, autrement dit d est un écart. Le deuxième (séparation) résultera du fait que d définit la topologie de E, qui est supposée séparée.

L'invariance par translation de cet écart est également immédiat ( $\quad d(u+w,v+w)=d(u,v)$ ).

Il reste à montrer que la topologie définie par cet écart est identique à celle définie par la suite de semi-normes. Comme d est invariant par translation, il suffit de montrer que toute d-boule (ouverte) de centre 0 et de rayon positif contient une p_n-boule de centre 0 et de rayon positif, et réciproquement. Autrement dit :

$(i)\qquad\forall \varepsilon >0\quad\exists n \in \mathbb N^*\quad\exists \alpha >0\quad p_n(w)<\alpha \Rightarrow d(w,0)<\varepsilon$

$(ii)\qquad\forall \varepsilon >0\quad\forall n \in \mathbb N^*\quad \exists\alpha>0\quad d(w,0)<\alpha\Rightarrow p_n(w)<\varepsilon$

- Démontrons (i). Soit $\varepsilon >0$

Pour que $d(w,0)<\varepsilon,$ il suffit que $\forall k\le 1/\varepsilon,\ p_k(w)<k\varepsilon$ . La suite de semi-normes étant filtrante, on peut trouver une semi-norme $\ p_n$ majorant toutes les semi-normes de cette famille finie $\ (p_k)_{k\le 1/\varepsilon}.$ Il suffit alors de poser $\alpha=\varepsilon\,$ .

- Démontrons (ii). Soit encore $ε > 0$ , et soit $n\in\N^*$ fixé.

Pour que $p_n(w)<\varepsilon,$ il suffit que $d(w,0)<1/n\,$ et $d(w,0)<n\varepsilon.$ On peut donc choisir $\alpha=\min(1/n,n\varepsilon).$

Remarquons qu'un espace vectoriel normé est un espace localement convexe métrisable (topologie définie par une seule semi-norme : la norme). Cependant la réciproque n'est pas vraie car si d est la distance définie ci-dessus, d(0,v) n'est en général pas une norme sur E.

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