Glossaire de topologie - Définition

Introduction

Ceci est un glossaire de quelques termes utilisés en topologie.

Ce glossaire est divisé en deux parties. La première traite des concepts généraux, et la seconde liste différents types d'espaces topologiques. Dans ce glossaire, tous les espaces sont supposés topologiques.

Généralités

A

Accessible : voir l' T₁.

Adhérence

L'adhérence ou fermeture d'une partie d'un est le plus petit contenant celle-ci. Un point est dit adhérent à une partie s'il appartient à son adhérence.

Voir aussi Valeur d'adhérence.

B

Base ou base d'ouverts

Une base d'un est un ensemble d' dont les réunions sont tous les ouverts de la . En particulier, une base d'ouverts est une base de voisinages.

Un espace est dit à base dénombrable s'il admet une base d'ouverts dénombrable.

Base de voisinages : voir .

Boule

Dans un , la boule ouverte (respectivement fermée) de centre x et de rayon r (réel strictement positif) est l'ensemble des points situés à une de x strictement inférieure (respectivement inférieure ou égale) à r.

Dans un espace vectoriel normé, la boule unité (ouverte ou fermée) est la boule (ouverte ou fermée) de centre 0 et de rayon 1.

C

Cauchy : voir .

Compact : voir les .

Complet

Un est dit complet si toute est .

Complètement de Hausdorff : voir l' T_2½.

Complètement normal : voir l' T₅.

Complètement régulier : voir l' T_3½.

Composante connexe

La composante connexe d'un point est la plus grande partie de l'espace contenant ce point. C'est l'union de toutes les parties connexes contenant ce point.

Connexe, connexe par arcs : voir les notions de .

Continu

Une application entre espaces topologiques est dite continue lorsque l'image réciproque de chaque est un ouvert.

Contractile : voir les notions de .

Convergent

Une suite dans un espace est dite convergente s'il existe un point (appelé limite de la suite) dont chaque contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

D

Dense

Une partie dense d'un est une partie dont l' est l'espace tout entier.

Dérivé

L'ensemble dérivé P' d'un partie P d'un est l'ensemble de ses .

Discontinu

Une application entre est dite discontinue si elle n'est pas continue.

Voir aussi .

Discret

Un est dit discret si toutes ses parties sont des . En particulier, il est .

Distance

Une distance sur un ensemble E est une application satisfaisant les propriétés suivantes :

1. la symétrie : pour tout couple (x, y) d'éléments de E, d(x,y) = d(y,x) ;
2. la séparation : pour tout couple (x, y) d'éléments de E, d(x,y) = 0 si et seulement si x = y ;
3. l'inégalité triangulaire : pour tout triplet (x, y, z) d'éléments de E, .

E

Engendrée : voir .

Espace de Fréchet

1. Un espace de Fréchet est un espace topologique satisfaisant l' T₁.
2. Certains espaces vectoriels topologiques sont aussi dits de Fréchet.

Espace de Hausdorff : voir l' T₂.

Espace de Kolmogorov : voir l' T₀.

Espace de Tychonoff : voir l' T_3½.

Espace métrique

Un espace métrique est un couple (E,d), où E est un ensemble, et d une sur E. Voir aussi .

Espace polonais

Un espace polonais est un espace et par une pour laquelle il est .

Espace topologique

Un espace topologique est un ensemble E muni d'une .

F

Faiblement normal : voir les .

Fermé

1. Une partie d'un est dite fermée lorsque son complémentaire est un .
   L'ensemble vide et l'espace sont donc des fermés. L'union de deux fermés est un fermé et l'intersection d'une famille quelconque de fermés est un fermé.
2. En géométrie, une courbe est dite fermée lorsqu'elle est périodique.

Fermeture : voir .

Filtre : Un filtre sur un ensemble E est un ensemble non vide de parties non vides de E qui est stable par sur-parties et intersections finies. Dans un espace topologique, les voisinages d'un point forment un filtre.

Fin

Une est plus fine qu'une autre sur le même ensemble si tout pour la deuxième est ouvert pour la première.

Fonctionnellement séparés

Deux parties A et B d'un X sont dites fonctionnellement séparées lorsqu'il existe une fonction f : X → [0,1] telle que f_|A=0 et f_|B = 1.

Fréchet : voir l' T₁, ou le type d'espace vectoriel topologique dit de Fréchet.

Frontière

La frontière d'une partie d'un est le complémentaire de son dans son , autrement dit l'ensemble des points qui sont adhérents à la fois à cette partie et à son complémentaire. C'est un .

Fσ : Une partie d'un espace topologique est un Fσ si c'est une réunion dénombrables de fermés.

G

G_δ : Une partie d'un espace topologique est un G_δ si c'est une intersection dénombrables d'ouverts.

Grossière : voir .

H

Hausdorff : : voir l' T₂ ou Séparé.

Homéomorphisme

Un homéomorphisme entre deux espaces est une bijection à réciproque continue. Deux espaces entre lesquels il existe un homéomorphisme sont dits homéomorphes.

Homogène

Un espace est dit homogène si le groupe des automorphismes agit transitivement, autrement dit si pour tout couple de points il existe un homéomorphisme de l'espace sur lui-même qui envoie le premier point sur le deuxième. Tous les groupes topologiques, en particulier les espaces vectoriels topologiques, sont des espaces homogènes.

Homotopie

Une homotopie entre deux applications est une application continue telle que . Les applications f et g sont alors dites homotopes.

I

Induite : voir .

Intérieur

L'intérieur d'une partie d'un est la réunion de tous les contenus dans cette partie. C'est donc le plus grand ouvert contenu dans cette partie, ou le complémentaire de l' de son complémentaire. Un point est intérieur à une partie si et seulement si cette partie est un du point.

Isolé : voir .

K

Kolmogorov : voir l' T₀ ou Espace de Kolmogorov.

L

Limite

La limite d'une suite est son unique .

Lindelöf : voir l' Espace de Lindelöf.

Localement : voir Propriété locale.

• Localement compact : voir les .
• Localement connexe ou localement connexe par arcs : voir les notions de .
• Localement fini

Une famille de parties d'un est dite localement finie lorsque chaque point possède un qui ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de la famille. Une famille dénombrablement localement finie est une union dénombrable de familles localement finies.

• Localement métrisable

Un espace est dit localement métrisable lorsque chaque point admet un .

M

Maigre

Une partie d'un est dite maigre lorsqu'elle est contenue dans une réunion dénombrable de d' vide.

Métrique : voir .

Métrisable

Un espace est dit métrisable lorsqu'il peut être muni d'une dont les forment une . Un espace métrisable est nécessairement et . Voir les conditions de métrisabilité.

Moins fine : voir .

N

Normal : voir les .

O

Ouvert

Un ouvert est un élément d'une .

Un est dit ouvert lorsque tous ses éléments sont des ouverts.

Une application entre espaces topologiques est dite ouverte lorsque l'image de chaque ouvert est un ouvert.

P

Paracompact : voir les .

Parfait

Un ensemble parfait d'un est une partie sans .

Parfaitement normal : voir les .

Partition de l'unité

Une partition de l'unité sur un espace topologique est un ensemble de fonctions à valeurs dans [0,1] tel que chaque point possède un sur lequel seul un nombre fini de ces fonctions ne sont pas constamment nulles et la somme des restrictions de celles-ci est constante égale à 1.

Plus fine : voir .

Point d'accumulation

Si A est une partie d'un espace topologique, un point d'accumulation de A est un point x dont tout contient un point de A distinct de x. Autrement dit, un point x est un point d'accumulation de A si et seulement s'il est à A − {x}.

Point isolé

Dans un , un point isolé d'une partie A est un point x de A pour lequel il existe un voisinage qui ne rencontre A qu'au point x. Autrement dit, c'est un point de A qui n'est pas de A.

Polonais : voir .

Prébase

Une prébase d'une est un ensemble d' dont l'ensemble des intersections finies constitue une .

Produit : voir .

Q

Quasi-compact : voir les .

Quotient

Voir .

R

Raffinement

Un raffinement d'un recouvrement est un recouvrement dont chaque élément est inclus dans un élément de .

Rare

Une partie d'un est dite rare ou nulle part dense lorsque son est d' vide, c'est-à-dire lorsque le complémentaire de son adhérence est .

Recouvrement

Un recouvrement d'un est une famille de parties dont l'union est l'espace tout entier. Un recouvrement est dit ouvert lorsque tous ses éléments sont des ouverts.

Relativement compact

Une partie d'un est dite relativement compacte lorsque son est .

Régulier : voir l' T₃.

S

Séparable

Un espace séparable est un espace qui admet une partie dénombrable.

Un espace n'est pas nécessairement séparable et réciproquement.

Séparant

Une famille d'applications entre deux espaces topologiques X et Y est dite séparante si tout couple de points distincts dans X a des images séparées dans Y par au moins l'une de ces applications.

L'espace X est alors nécessairement séparé.

Séparé : voir l' T₂.

Simplement connexe : voir les notions de .

Sous-recouvrement

Un sous-recouvrement d'un K est une partie de K qui est aussi un recouvrement.

Système fondamental de voisinages

Un système fondamental de voisinages d'un point est un ensemble de voisinages de ce point tel que tout autre voisinage de ce point contient un élément de .

Suite de Cauchy

Dans un , une suite de Cauchy est une suite de points telle que pour tout réel strictement positif a il existe un rang de la suite à partir duquel la entre deux images quelconques de la suite est toujours inférieure à a.

T

T₀, T₁, T₂, T_2½, T₃, T_3½, T₄, T₅ : voir les .

Topologie

Une topologie sur un ensemble E est un ensemble T de parties de E tel que :

1. l'ensemble E lui-même et l'ensemble vide sont des éléments de T ;
2. la réunion de toute famille d'éléments de T est un élément de T ;
3. l'intersection de deux éléments de T est un élément de T.

Les éléments de T sont appelés les ouverts de cette topologie.

Topologie discrète

La topologie discrète sur un ensemble E est la topologie dont les ouverts sont toutes les parties de E. C'est la plus de toutes les topologies sur E.

Topologie engendrée

La topologie engendrée par un ensemble de parties d'un ensemble est celle dont les sont les réunions quelconques d'intersections finies d'éléments de . L'ensemble constitue une de la topologie engendrée.

Topologie grossière

La topologie grossière sur un ensemble E est la dont les seuls sont l'ensemble vide et l'ensemble E. C'est la moins de toutes les topologies sur E.

Topologie induite

La topologie induite sur une partie A d'un E est l'ensemble des intersections de A avec les de E. C'est la topologie la moins fine sur A rendant continue l'injection canonique de A dans E.

Topologie moins fine

Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est moins fine que la topologie T' si tout ouvert de T est ouvert de T'. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T') dans (E,T).

Topologie plus fine

Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T est plus fine que la topologie T' si tout ouvert de T' est ouvert de T. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T) dans (E,T').

Topologie produit

La topologie produit sur un produit quelconque d' est la par les où un nombre fini d'éléments U_i sont des ouverts des espaces topologiques correspondants et les autres sont les espaces E_i correspondants.

C'est la topologie la moins rendant toutes les projections .

Topologie quotient

Si E est un espace topologique et une relation d'équivalence sur E, la topologie quotient sur l'ensemble quotient est l'ensemble des parties de dont les préimages sont des de E. C'est la topologie la plus rendant la projection canonique, qui à tout élément de E associe sa classe d'équivalence..

Topologique : voir .

Totalement discontinu : voir les notions de .

Tychonoff : voir l' T_3½ ou Complètement régulier.

U

Uniformisable : dont la topologie est induite par une structure d'espace uniforme ; voir l' T_3½ ou Complètement régulier.

V

Valeur d'adhérence

Une valeur d'adhérence d'une suite de points d'un est un point dont tout contient une infinité de termes de la suite. Si tout point admet une base dénombrable de voisinages, une valeur d'adhérence est la limite d'une sous-suite.

Voisinage

Un voisinage d'une partie A d'un est un ensemble contenant un contenant lui-même A. En particulier, un voisinage ouvert de A est simplement un ouvert contenant A. Un voisinage d'un point p est un voisinage du singleton {p}.