Groupe cyclique - Définition
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Applications
Théorie des groupes
Les groupes cycliques sont importants, dans le contexte des groupes abéliens, à la fois pour l'étude des groupes abéliens finis et ceux de type fini. Ils sont en effet les éléments de base de la classification (cf le théorème de Kronecker). Dans le cas des groupes finis non abéliens le théorème de Cauchy montre l'existence de nombreux sous-groupes cycliques. Ce théorème est utilisé pour la classification des groupes finis, même si souvent, certaines formes plus élaborées sont utilisées comme les trois théorèmes de Sylow.
Arithmétique
En arithmétique ces groupes offrent un large répertoire d'outils et permettent de nombreuses démonstrations. Ces outils sont regroupés dans une branche des mathématiques nommée arithmétique modulaire. Ils se fondent sur l'étude des congruences sur l'anneau des entiers. On peut citer comme exemple le petit théorème de Fermat ou encore le théorème des deux carrés de Fermat avec la démonstration de Richard Dedekind. On peut encore citer la loi de réciprocité quadratique qui repose sur des structures de groupes cycliques. Il existe de nombreux cas où le groupe sous-jacent est abélien fini et non cyclique. Cependant, comme tout groupe abélien fini est un produit direct de groupes cycliques (cf théorème de Kronecker) leur rôle reste prépondérant. On le trouve par exemple dans le théorème de la progression arithmétique. Plus généralement, tout groupe abélien de type fini est encore produit direct de groupes cycliques (mais certains des facteurs peuvent, cette fois, être cycliques infinis i.e. isomorphes à Z). On peut citer comme exemple d'application le théorème des unités de Dirichlet.
Théorie des anneaux
Les groupes cycliques jouent un rôle dans la théorie des anneaux particulièrement dans le cas des anneaux unitaires. En effet, l'unité de l'anneau engendre (pour l'addition) un groupe cyclique, permettant de définir la caractéristique d'un anneau.
Théorie de Galois
Dans le cas particulier des corps commutatifs, les groupes cycliques ont aussi un rôle fondamental. Une telle structure possède un groupe associé nommé groupe de Galois. Le théorème d'Abel-Ruffini indique que les propriétés de commutativité sont essentielles pour comprendre la théorie des équations. Le théorème de Kronecker-Weber montre que la compréhension de la résolution des équations algébriques est essentiellement liée à la structure des extensions cyclotomiques dont le groupe de Galois est cyclique.
La théorie de Galois permet aussi de construire tous les corps finis, intimement associés à la structure de groupes cycliques. Ainsi le groupe additif est un produit direct de plusieurs occurrences d'un groupe cyclique et le groupe multiplicatif est cyclique.
Théorie de l'information
La théorie de l'information utilise largement les groupes cycliques. Un élément essentiel de la cryptologie se fonde sur le fait qu'il est relativement simple de construire un grand nombre premier mais difficile de décomposer un grand nombre en nombres premiers. Ce principe est à la base du Code à clé publique RSA. Les algorithmes de décomposition, nommés test de primalité se fondent très généralement sur les groupes cycliques. On peut citer comme exemple ceux de Fermat de Miller-Rabin ou encore de Solovay-Strassen
La théorie des codes correcteurs, visant à assurer non pas la sécurité mais la fiabilité, n'est pas en reste. La grande majorité des codes utilisés dans l'industrie font partie de la famille des codes cycliques s'appuyant sur divers groupes cycliques.
