Idéal fractionnaire - Définition

 : Soit P un idéal premier non nul de A. Le localisé A_P étant un anneau de valuation discrète donc principal, il existe un élément t de P engendrant l'idéal P.A_P de A_P, c'est-à-dire tel que P soit inclus dans t.A_P.

Par ailleurs, A étant noethérien, soit (p₁, ... , p_r) une famille finie génératrice de P. Chaque p_i appartient à t.A_P, donc il existe dans A un élément a n'appartenant pas à P tel que les (a/t).p_i appartiennent à A, si bien que (a/t).P est inclus dans A.

Définissons l'idéal fractionnaire Q = A + (a/t)A et vérifions qu'il est inverse de P. Par construction, Q.P est un idéal de A contenant P. Puisqu'il contient aussi l'élément (a/t).t=a qui n'est pas dans P, et que P est maximal, on en déduit que Q.P = A.

 : Raisonnons par l'absurde en supposant 2 vrai et 3 faux. L'hypothèse 2 entraîne que tout idéal premier est de type fini, ce qui est une condition suffisante pour que A soit noethérien. L'hypothèse que 3 est faux permet alors de choisir, dans l'ensemble (supposé non vide) des idéaux non nuls et non inversibles, un élément maximal P. Montrons (pour conclure à l'absurde) qu'un tel P est premier : soient tels que et , montrons que . Considérons pour cela l'idéal Q = P + aA : il contient strictement P donc il est inversible, et PQ ^{− 1} est un idéal de A non inversible (comme P) et contenant P, donc égal à P (par choix de ce dernier). Or il contient aussi b (puisque P contient bQ). Donc .

+ unicité de la décomposition en premiers : L'hypothèse 3 entraîne que A est intègre (car les idéaux principaux non nuls sont inversibles) et noethérien (tout idéal inversible étant de type fini). Soit I un idéal non nul de A, montrons qu'il est produit de maximaux. S'il est égal à A, c'est le cas (sous forme d'un produit indexé par le vide). Sinon, soit M₁ un idéal maximal contenant I : M₁ est non nul donc inversible, et est un idéal de A contenant strictement I. On construit de cette manière une suite strictement croissante d'idéaux de la forme qui (par noethérianité) est finie, c'est-à-dire qu'il existe un entier naturel n tel que , d'où . Montrons maintenant que si avec P_i premiers alors m=n et (à permutation près) . Si m=0 c'est immédiat. Sinon, comme P₁ est premier et contient le produit , il contient l'un d'entre eux, disons par exemple M₁ donc (par maximalité de M₁) P₁ = M₁. En multipliant l'équation de départ par il reste , d'où (en itérant) le résultat souhaité.

 : Immédiat.

 : cf

• Bourbaki, Éléments de mathématique, AC chap. 5 à 7, Springer (2006) chapitre 7 § 2 exercice 9, ou
• Oscar Zariski et Pierre Samuel, Commutative algebra, vol. 1 chap. V § 6 theorem 10, ou encore
• théorème 11.149 (attribué à Matusita) dans Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés , ou dans son extrait, donné en lien externe

(dans ces trois sources, la série d'arguments est la même).

 : Sous l'hypothèse 2 (qui entraîne 3, 4, 5, et l'unicité de la décomposition en premiers), on a déjà vu que A est noethérien et intègre. De plus (cf paragraphe Valuation ci-dessous) on peut associer à chaque idéal premier non nul P de A une valuation v_P sur K de telle sorte que A soit l'intersection des anneaux de valuation associés. Il est donc intégralement clos (voir l'article Élément entier). Tout idéal premier non nul P est maximal (par existence d'une décomposition en maximaux et unicité de la décomposition en premiers). Ainsi, A vérifie toutes les propriétés requises pour être un anneau de Dedekind.