Liste des petits groupes - Définition

Introduction

La liste mathématique suivante contient tous les groupes finis d'ordre inférieur ou égal à 17, à isomorphisme près.

Terminologie et notations

• Z_n : le groupe cyclique d'ordre n (parfois noté C_n, il est isomorphe à Z/nZ).

• D_n : le groupe diédral d'ordre 2n (il est parfois noté D_2n ou, chez les auteurs anglo-saxons, Dih_n).

• S_n : le groupe symétrique de degré n, contenant les n! permutations de n objets.

• A_n : le groupe alterné de degré n, contenant les n!/2 permutations paires de n objets.

• Dic_n : le groupe dicyclique (en) d'ordre 4n (généralisant les groupes de quaternions Q_4n).

La notation G × H désigne le produit direct des deux groupes ; Gⁿ désigne le produit direct de n copies du groupe G. G H désigne un produit semi-direct où H agit sur G ; quand l'action exacte de H sur G est omise, toutes les actions non triviales conduisent au même groupe produit (à isomorphisme près).

Les groupes simples d'ordre n < 60 sont les groupes cycliques Z_n, avec n premier. Le signe d'égalité ("=") désigne l'isomorphisme.

Dans les graphes des cycles, l'élément neutre est représenté par un cercle noir. Le plus petit groupe que ce graphe ne caractérise pas à isomorphisme près est d'ordre 16.

La liste des sous-groupes ne mentionne que ceux distincts du groupe trivial et du groupe entier. Quand il existe plusieurs sous-groupes isomorphes, leur nombre est indiqué entre parenthèses.

Petits groupes non abéliens

On ne connait pas de classification complète des groupes non-abéliens. Tout groupe simple non abélien est d'ordre pair (c'est le théorème de Feit et Thompson) ; le plus petit est le groupe A₅, d'ordre 60. Le plus petit groupe non abélien d'ordre impair est le groupe de Frobenius F₂₁, d'ordre 21.

Ordre	Groupe	Sous-groupes	Propriétés	Graphe des cycles
6	S3 = D3	Z3 , Z2 (3)	plus petit groupe non-abélien, groupe des symétries du triangle équilatéral
8	D4	Z4, Z22 (2) , Z2 (5)	groupe des symétries du carré
	groupe des quaternions = Q8 = Dic2	Z4 (3), Z2	plus petit groupe hamiltonien ; plus petit groupe non abélien dont tous les sous-groupes sont normaux
10	D5	Z5 , Z2 (5)	groupe des symétries du pentagone régulier
12	D6 = D3 × Z2	Z6 , D3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7)	groupe des symétries de l'hexagone régulier
	A4	Z22 , Z3 (4) , Z2 (3)	plus petit groupe n'admettant pas de sous-groupes de tous les ordres divisant l'ordre du groupe : pas de sous-groupe d'ordre 6 (voir le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow)
	Dic3 = Z3 Z4	Z2, Z3, Z4 (3), Z6
14	D7	Z7, Z2 (7)	groupe des symétries de l'heptagone régulier
16	D8	Z8, D4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)	groupe des symétries de l'octogone régulier
	D4 × Z2	D4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11)
	groupe de quaternions généralisé Q16 = Dic4
	Q8 × Z2		groupe hamiltonien
	Le groupe quasidiédral (en) d'ordre 16
	Le groupe modulaire (en) d'ordre 16
	Z4 Z4
	Le groupe engendré par les matrices de Pauli		ce groupe a le même graphe des cycles que le groupe Z4 × Z22, mais ne lui est pas isomorphe
	G4,4 = Z22 Z4