Loi géométrique - Définition
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Introduction
| Géometrique | |
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| Paramètres |
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| Support |
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| Densité de probabilité (fonction de masse) |
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| Fonction de répartition |
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| Espérance |
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| Médiane (centre) |
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| Mode | 1 |
| Variance |
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| Asymétrie (statistique) |
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| Kurtosis (non-normalisé) |
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| Entropie |
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| Fonction génératrice des moments |
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| Fonction caractéristique |
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| modifier | |
La loi géométrique est une loi de probabilité apparaissant dans de nombreuses applications. La loi géométrique de paramètre p (0 < p < 1) correspond au modèle suivant :
On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est p et celle d'échec q = 1 - p.
On renouvelle cette épreuve de manière indépendante jusqu'au premier succès. On appelle X la variable aléatoire donnant le rang du premier succès.
Les valeurs de X sont les entiers naturels non nuls 1, 2, 3, ... La probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ...
- p(k) = qk − 1p.
On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.
Calcul de p(k)
La probabilité p(k) correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k - 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de qk - 1p.
Date de mort, durée de vie
Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante :
- P(V = k) = qkp pour k = 0, 1, ....
-
Pour p petit, ln(1 - p) est voisin de -p donc
où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle.
Définition alternative
On rencontre parfois pour la loi géométrique, la définition alternative suivante : la probabilité p'(k) est la probabilité, lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, d'obtenir k échecs suivi d'un succès. Elle modélise la durée de vie d'une entité qui aurait, à tout instant la probabilité p de mourir. On obtient alors, pour k = 0, 1, 2, ...
- p'(k) = qkp.
On remarque qu'il ne s'agit que d'un décalage de la précédente loi géométrique. Son espérance n'est plus alors de
Liens avec d'autres lois
Lien avec la loi exponentielle
La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.
Propriété — Si
alors
![\begin{align} \mathbb{P}(Y=k) &= \mathbb{P}(\lceil\theta X\rceil=k) \\ &= \mathbb{P}(\theta X\in]k-1,k]) \\ &= \mathbb{P}\left(X\in\left]\tfrac{k-1}{\theta},\tfrac{k}{\theta}\right]\right) \\ &= F_X\left(\tfrac{k}{\theta}\right)-F_X\left(\tfrac{k-1}{\theta}\right) \\ &= \exp\left(-\ \tfrac{k-1}{\theta}\right)-\exp\left(-\ \tfrac{k}{\theta}\right) \\ &= \left(e^{-\ \tfrac{1}{\theta}}\right)^{k-1}\ \left(1-e^{-\ \tfrac{1}{\theta}}\right). \end{align}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/9ac8df3782b0bc151637ec756d95e6e0_6751db92dc86507dd2cce6bff879294b.png)
Notons que, pour un nombre réel
Ainsi, pour obtenir une variable aléatoire
où l'on a choisi
En effet,
Réciproquement,
Propriété — Si, pour
alors
On se donne une variable aléatoire exponentielle
Alors
Or d'une part la convergence presque sûre entraine la convergence en loi, d'autre part la loi de
Lien avec la loi binomiale négative
Si Xn est une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale négative de paramètres n et p, alors Xn a même loi que la somme de n variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi géométrique de paramètre p.
