Loi géométrique - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

Géometrique

Geometricpdf.jpg

Geometriccdf.jpg

Paramètres 0< p \leq 1 probabilité de succès (réel), q = 1 − p probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un...) d'échec
Support k \in \{1,2,3,\dots\}\!
Densité de probabilité (En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est...) (fonction de masse) q^{k-1}\,p\!
Fonction de répartition (En théorie des probabilités ou en statistiques, la fonction de répartition d'une...) 1-q^k\!
Espérance \frac{1}{p}\!
Médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en...) (centre) \left\lceil \frac{-\log(2)}{\log(q)} \right\rceil\! (pas unique si − log(2) / log(q) est entier)
Mode 1
Variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) \frac{q}{p^2}\!
Asymétrie (L'asymétrie est l’absence de symétrie, ou son inverse. Dans la nature, les crabes...) (statistique) \frac{2-p}{\sqrt{q}}\!
Kurtosis
(non-normalisé)
6+\frac{p^2}{q}\!
Entropie (En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état introduite en 1865 par Rudolf Clausius...) \frac{-q\log_2 q - p \log_2 p}{p}\!
Fonction génératrice (En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par) des moments \frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!
Fonction caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :) \frac{pe^{it}}{1-q\,e^{it}}\!

La loi géométrique est une loi de probabilité (En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit...) apparaissant dans de nombreuses applications. La loi géométrique de paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...) p (0 < p < 1) correspond au modèle suivant :

On considère une épreuve de Bernoulli (En probabilité, une épreuve de Bernoulli de paramètre p (réel compris entre 0 et 1) est une...) dont la probabilité de succès est p et celle d'échec q = 1 - p.

On renouvelle cette épreuve de manière indépendante jusqu'au premier succès. On appelle X la variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une...) donnant le rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...) du premier succès.

Les valeurs de X sont les entiers naturels non nuls 1, 2, 3, ... La probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ...

p(k) = qk − 1p.

On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.

Calcul de p(k)

La probabilité p(k) correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k - 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de qk - 1p.

Date de mort, durée de vie (La vie est le nom donné :)

Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante :

P(V = k) = qkp pour k = 0, 1, ....
P(V \geq k) =q^k  = \mathrm{e}^{k\ln(q)}

Pour p petit, ln(1 - p) est voisin de -p donc

P(V \geq k) \approx  \mathrm{e}^{-pk}

où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus...).

Définition alternative

On rencontre parfois pour la loi géométrique, la définition alternative suivante : la probabilité p'(k) est la probabilité, lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, d'obtenir k échecs suivi d'un succès. Elle modélise la durée de vie d'une entité qui aurait, à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...) la probabilité p de mourir. On obtient alors, pour k = 0, 1, 2, ...

p'(k) = qkp.

On remarque qu'il ne s'agit que d'un décalage de la précédente loi géométrique. Son espérance n'est plus alors de \scriptstyle \frac 1p mais de \scriptstyle \frac 1p - 1, c'est-à-dire \scriptstyle \frac qp. La variance est identique pour les deux définitions. Dans la suite, on prendra la première définition.

Liens avec d'autres lois

Lien avec la loi exponentielle

La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

Propriété — Si \scriptstyle\ X\ suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si \scriptstyle\ Y=\lceil\theta X\rceil,\ \theta>0,\ alors \scriptstyle\ Y\ suit la loi géométrique de paramètre

p\ =\ 1-e^{-\ \tfrac{1}{\theta}}.
Diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées,...) en bâtons de la loi de V et densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) de la loi exponentielle de paramètre 1/10.

Notons que, pour un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) \scriptstyle\ x,\ \scriptstyle\ \lceil x\rceil\ désigne la partie entière supérieure de \scriptstyle\ x,\ définie par

\lceil x\rceil\ =\ \min\left\{k\in\mathbb{Z}\ |\ k\ge x\right\}.
Conséquence  :

Ainsi, pour obtenir une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) aléatoire \scriptstyle\ Y^{\prime}\ suivant une loi géométrique de paramètre \scriptstyle\  p\ arbitraire (avec toutefois la contrainte \scriptstyle\ 0<p<1\  ), à partir d'une variable aléatoire exponentielle \scriptstyle\  X^{\prime}\ de paramètre \scriptstyle\  \lambda,\ il suffit de poser

Y^{\prime}=\lceil\theta X^{\prime}\rceil,

où l'on a choisi

\theta\ =\ -\tfrac{\lambda}{\ln\left(1-p\right)}.

En effet, \scriptstyle\ X=\lambda\,X^{\prime}\ suit une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1).

Réciproquement,

Propriété — Si, pour \scriptstyle\ n\ge 1,\ la variable aléatoire \scriptstyle\ Y_n\ suit la loi géométrique de paramètre \scriptstyle\ p_n\ , et si, simultanément,

\lim_n p_n\ =\ 0\qquad\text{et}\qquad\lim_n p_n/a_n\ =\ \lambda>0,

alors \scriptstyle\ a_nY_n\ converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre \scriptstyle\ \lambda.\

Lien avec la loi binomiale (En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité...) négative

Si Xn est une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale négative de paramètres n et p, alors Xn a même loi que la somme de n variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi géométrique de paramètre p.

Page générée en 0.242 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique