Modèle christallérien - Définition
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Les schémas géométriques de Walter Christaller sont mathématiquement faux
Pour Walter Christaller la figure géométrique de base du système des lieux centraux n’est pas l’hexagone régulier mais le triangle équilatéral. Il prend soin de le rappeler à l’aide d’un dessin où il précise qu’il ne faut pas partir d’une distribution initiale théorique des lieux en carrés mais en triangles équilatéraux (nicht die Verteilung, sondern die Verteilung (1933), not this distribution, but this distribution (1966)) pour que les lieux s’organisent en hexagones parfaitement réguliers. Dès lors, Walter Christaller pose le problème ainsi.
Or, il a été démontré en 1986 que cette affirmation géométrique est mathématiquement fausse.
Les « principes de fonctionnement » déduits de la position des lieux centraux dans les « schémas » géométriques christallériens se veulent universels, c’est-à-dire valables partout à la surface de la Terre et fonctionnels à toutes les époques. Les lieux centraux sont représentés à l’aide des schémas dans un plan qui a les mêmes propriétés dans toutes les directions : c’est un espace isotrope. La construction des figures normatives des lieux centraux permet à Walter Christaller de déduire une figure de la précédente à l’aide de la construction : triangle équilatéral → hexagone régulier → nouveau triangle équilatéral de niveau supérieur → hexagone régulier de niveau supérieur, etc. (1933, 1966) : c’est un espace isomorphe.
À propos du coefficient k
Le coefficient k ne figure dans aucun texte de Walter Christaller. L’usage de cette lettre a été introduit par August Lösch dans son ouvrage The Economics of Location (1940, édition remaniée 1944). Sa signification a donc donné lieu à de multiples interprétations. Pour certains, ce coefficient aurait désigné le rapport entre le nombre de villes au niveau n de la hiérarchie et le nombre de ville au niveau immédiatement inférieur (n-1). C’est ainsi qu’ils interprètent la progression du nombre de lieux : 3, 3x3=9, 9x3= 27 etc selon le « principe » de marché k=3. Ce qui s’expliquerait pas le fait que, dans le schéma, chaque ville ne doit être comptabilisée qu'une seule fois, même si elle est englobée dans plusieurs aires d'influences. Cependant, d'autres interprètent ce coefficient non pas comme un coefficient arithmétique mais comme un « facteur » géométrique, en prenant en compte le rapport de surface entre l'aire d'influence d'un centre de niveau n et celle d'un centre de niveau inférieur (n-1).
Il y a enfin une troisième interprétation qui s'appuie sur l'appartenance de Walter Christaller à un famille d'ecclésiastiques. Il connaissait bien la Bible et les évangiles auxquels il fait allusion dans son autobiographie. Le chiffre 3 est celui de la Trinité. Le chiffre 4 renvoie aux quatre vivants dans le chapitre 1 de l’Apocalypse de saint Jean. Le chiffre 7 = 4 + 3 se réfère à la création du monde en sept jours dans la Genèse. Il ne s'agirait pas de mathématique mais de numérologie très présente dans la géographie allemande.
La validité des schémas attribués à Walter Christaller justifiant un « modèle christallérien » a été dès l’origine sujette à controverse. En effet, après avoir été critiquée sévèrement avant la Seconde Guerre mondiale, elle a été réhabilitée par les « nouveaux géographes » après la fin du conflit pour être à nouveau contestée à la fin du XXe et au début du XXIe siècle siècle. Depuis 1880, les mathématiciens considèrent en effet un « modèle » comme une « structure qui réalise les propositions d’une théorie » (H. Poincaré) et depuis 1928 les linguistes voient dans un « modèle » une « représentation simplifiée de relations entre unités d’un système » (V. Propp). Or, en 1933 et 1941 Christaller parle de « schéma » (« mathematisches Schema », « mathematical Scheme ») mais pas de « modèle » (« Modell », « model ») de son « système des lieux centraux » (« System der zentralen Orte », « System of Central places ») dans une « théorie de la géographie des lieux habités » (« Siedlungsgeographie », « geography of settlements ») et non pas d’une « théorie de la centralité ». Dès lors comment peut-on transformer les schémas attribués à Walter Christaller en « modèle » scientifique alors qu’ils n’étaient pour lui que des représentations graphiques de « systèmes » ?
