Morphologie mathématique - Définition

Introduction

La morphologie mathématique est une branche des mathématiques présentant des liens forts avec l'algèbre, la théorie des treillis, la topologie et les probabilités.

Le développement de la morphologie mathématique a été inspiré par des problèmes de traitement d'images, domaine qui constitue son principal champ d'application. Elle fournit en particulier des outils de filtrage, segmentation, quantification et modélisation d'images.

Aperçu général

Une des idées de base de la morphologie mathématique est d'étudier ou de traiter un ensemble à l'aide d'un autre ensemble, appelé élément structurant, qui sert de sonde. A chaque position de l'élément structurant, on regarde s'il touche ou s'il est inclus dans l'ensemble initial. En fonction de la réponse, on construit un ensemble de sortie. On obtient ainsi des opérateurs de base qui sont relativement intuitifs.

Des propriétés que l'on retrouve souvent dans les opérateurs morphologiques sont :

• la non-linéarité
• la non-inversibilité
• l'idempotence

Ceci implique en particulier une perte d'information ; bien utilisés, ces opérateurs permettent d'éliminer des structures ne respectant pas certains critères, comme par exemple de largeur ou de volume.

La morphologie mathématique s'intéresse aussi aux ensembles et aux fonctions aléatoires.

Le principal domaine d'application de la morphologie mathématique est le traitement d'images. Elle fournit, en particulier, des outils de filtrage, de segmentation et de quantification. Depuis son apparition, en 1964, elle connaît un succès grandissant et désormais contribue à garnir la boite à outils de tout traiteur d'images.

Opérateurs de base

La morphologie mathématique peut être développée dans le cadre abstrait de la théorie des treillis. Cependant, une présentation plus pratique, visant un utilisateur potentiel d'outils de traitement d'images, plutôt qu'un mathématicien, est ici adoptée.

Cas ensembliste

Plaçons nous dans , souvent utilisé comme modélisation du support des images binaires à deux dimensions, même si tout ce qui est présenté dans cette section reste valable dans , où d est un entier strictement positif. Soit B un sous-ensemble de E, appelé élément structurant. Si x est un élément de E, alors nous noterons B_x l'ensemble B translaté de x  :

L'élément structurant joue en quelque sorte le rôle de modèle local, ou de sonde. Il est promené partout sur l'image à traiter, et à chaque position on étudie sa relation avec l'image binaire, considérée comme un ensemble. Ces relations peuvent être du type « est inclus dans l'ensemble », ou « touche l'ensemble », par exemple.

Les éléments structurants les plus classiquement utilisés sont la croix, constituée de l'origine et des quatre points les plus proches, et le carré, constitué de l'origine et des huit points les plus proches. Ces deux éléments structurants correspondent respectivement à deux définitions possibles du voisinage ou de la connexité de l'image.

On introduit aussi le symétrique d'un ensemble, noté  :

Si B est symétrique, on a .

Dilatation et érosion

Soit X un sous-ensemble de E. La dilatation morphologique avec l'élément structurant B est définie comme la somme de Minkowski:

Une autre formulation plus intuitive est :

La dilatation morphologique n'est, en général, pas inversible. L'opération qui en quelque sorte tente de produire l'inverse de la dilatation est l'érosion morphologique:

La dilatation et l'érosion sont les opérateurs de base de la morphologie mathématique. Pratiquement tous les autres peuvent être définis à l'aide de ceux-ci, en utilisant des compositions de fonctions et des opérations ensemblistes.

Image originale (en noir : l'objet ; en blanc : le fond)

Dilatation par un carré 3x3

Érosion par un carré 3x3

Transformation en tout ou rien

On peut aussi prendre deux éléments structurants A et B pour définir des transformations. Si on demande en chaque point x à A d'être à l'extérieur de l'ensemble et à B à l'intérieur on obtient la transformation en tout ou rien (hit or miss transform en anglais) :

où A^c désigne le complémentaire de l'ensemble A. Cette transformation permet de détecter certaines configurations précises de pixels. En ajoutant le résultat de la transformation à l'ensemble initial on obtient un épaississement:

en enlevant le résultat de l'ensemble initial on obtient un amincissement:

En prenant des suites d'amincissements, on peut réduire progressivement l'ensemble initial (comme si on l'épluchait). De cette façon on peut calculer différents types de squelettes, dont des squelettes homotopiques.

Ouverture et fermeture

La composition d'une dilatation morphologique avec l'érosion par le même élément structurant ne produit pas, en général, l'identité, mais deux autres opérateurs morphologiques, l'ouverture morphologique:

et la fermeture morphologique:

L'ouverture peut être caractérisée géométriquement: elle donne l'union de tous les B_x inclus dans X. Ainsi, la forme de l'élément structurant permet de choisir les structures qui peuvent le contenir.

La fermeture est le dual de l'ouverture: la fermeture du complémentaire d'un ensemble est égale au complémentaire de l'ouverture de cet ensemble.

La fermeture et l'ouverture sont des opérations croissantes et idempotentes, deux propriétés qui définissent les filtres morphologiques. La fermeture est extensive ( ), et l'ouverture est anti-extensive( ).

Image originale

Fermeture par un carré 3x3

Ouverture par un carré 3x3

Extension aux fonctions

Une image à niveaux de gris peut être modélisée comme une fonction de dans . Soit f une fonction appartenant à cet ensemble. On a alors :

L'ouverture et la fermeture de fonctions s'obtiennent comme dans le cas ensembliste :

L'ouverture et la fermeture morphologiques constituent déjà des outils intéressants de filtrage d'images. Cependant, ils peuvent modifier le contour des objets, propriété qui peut être malvenue. Les opérateurs par reconstruction et plus généralement les nivellements, introduits plus loin, permettent de pallier cet inconvénient.

Epaississements et amincissements ne sont pas, en général, des opérateurs croissants. Par conséquent, leur application aux fonctions (en pratique, aux images à niveaux de gris) n'est pas triviale. Plusieurs extensions ont été proposées dans la littérature.

Exemple d'utilisation : détection de contours

La détection de contours représente une tâche importante en traitement d'images. La morphologie mathématique propose des outils non-linéaires de détection de contours, comme le gradient et le laplacien morphologiques.

Le gradient morphologique, aussi appelé gradient de Beucher du nom de son inventeur, est défini par:

Il correspond, en quelque sorte, à la version morphologique du module du gradient euclidien. Le laplacien morphologique est construit de façon analogue:

où I correspond à l'opérateur identité.