Octonion fendu - Définition

Introduction

En mathématiques, les octonions fendus sont une extension non-associative des quaternions (ou des quaternions fendus). Ils diffèrent des octonions par la signature de la forme quadratique : les octonions fendus ont une signature de fente (4,4) où les octonions ont une signature définie positive (8,0).

Définition

La construction de Cayley-Dickson

Les octonions et les octonions fendus peuvent être obtenus par la construction de Cayley-Dickson en définissant une multiplication sur les paires de quaternions. Nous introduisons une nouvelle unité imaginaire ℓ et nous écrivons une paire de quaternions (a, b) sous la forme a + ℓb. Le produit est défini par la règle suivante :

où

Si est choisi égal à - 1, nous obtenons les octonions. Si, à la place, il est choisi égal à + 1, nous obtenons les octonions fendus. On peut aussi obtenir les octonions fendus via un doublement de Cayley-Dickson des quaternions fendus. Ici, quel que soit le choix de (±1), cela donnera les octonions fendus. Voir aussi les nombres complexes fendus en général.

La table de multiplication

Une base pour les octonions fendus est donnée par l'ensemble {1, i, j, k, ℓ, ℓi, ℓj, ℓk}. Chaque octonion fendu x peut être écrit comme une combinaison linéaire des éléments de la base,

avec des coefficients réels x_a. Par linéarité, la multiplication des octonions fendus est complètement déterminée par la table de multiplication suivante :

Le conjugué, la norme et l'inverse

Le conjugué d'un octonion fendu x est donné par

comme pour les octonions. La forme quadratique (ou norme carrée) sur x est donnée par

Cette norme est la norme pseudo-euclidienne standard sur . En raison de la signature de fente, la norme N est isotropique, ce qui signifie qu'il existe des éléments x différents de zéro pour lesquels N(x) = 0. Un élément x possède un inverse (à deux faces) si et seulement si N(x) ≠ 0. Dans ce cas, l'inverse est donné par

.

Algèbre matricielle-vectorielle de Zorn

Puisque les octonions fendus ne sont pas associatifs, ils ne peuvent pas être représentés par les matrices ordinaires (la multiplication matricielle est toujours associative). Zorn a trouvé une manière de les représenter sous la forme de "matrices" contenant à la fois des scalaires et des vecteurs en utilisant une version modifiée de la multiplication matricielle. Plus précisément, définissons qu'une matrice-vecteur est une matrice 2 x 2 de la forme

où a et b sont des nombres réels et v et w des vecteurs dans . Définissons la multiplication de ces matrices par la règle suivante

où . est le produit scalaire et x le produit vectoriel ordinaire de 3 vecteurs. Avec l'addition et la multiplication scalaire définie comme d'habitude dans l'ensemble de toutes les matrices de cette sorte forme une algèbre à huit dimensions non associative unitaire sur les réels, appelée algèbre matricielle-vectorielle de Zorn.

Définissons le "déterminant" d'un matrice vecteur par la règle

.

Ce déterminant est une forme quadratique de l'algèbre de Zorn qui satisfait la loi de composition :

.

L'algèbre matricielle-vectorielle de Zorn est, en fait, isomorphe à l'algèbre des octonions fendus. Écrivons un octonion x sous la forme

où a et b sont des nombres réels, a et b sont des quaternions purs qui sont vus comme des vecteurs dans . L'isomorphisme des octonions fendus vers l'algèbre de Zorn est donné par

.

Cet isomorphisme préserve la norme puisque .