Octonion - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non-associative des quaternions. Ils forment une algèbre à 8 dimensions sur les réels. L’algèbre des octonions est généralement notée \mathbb{O}.

En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, les octonions gardent leur importance en algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) et en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...), notamment parmi les groupes de Lie.

Historique

Les octonions ont été découverts en 1843 par John T. Graves, un ami de William Hamilton, qui les appela octaves. Ils furent découverts indépendamment par Arthur Cayley, qui publia le premier article sur le sujet en 1845. Ils sont souvent appelés octaves de Cayley ou algèbre de Cayley.

Propriétés

La multiplication des octonions n'est ni commutative :

  • i\ .\ j\ =\ -\ j\ .\ i

ni associative :

  • (i\ .\ j)\ .\ l\ =\ -i\ .\ (j\ .\ l).

Elle satisfait une forme plus faible que l’associativité : l’alternativité. Cela signifie que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques (a,\ b) est associative :

  • (a\ .\ b)\ .\ b\ =\ a\ .\ (b\ .\ b).

On peut montrer que la sous-algèbre générée par 2 éléments quelconques de \mathbb{O} est isomorphe à \mathbb{R}, \mathbb{C}, ou \mathbb{H}, qui sont tous associatifs.

Les octonions partagent une propriété importante avec \mathbb{R}, \mathbb{C}, et \mathbb{H} : la norme sur \mathbb{O} qui satisfait

  • \|x\ .\ y\|\ =\ \|x\|\ .\ \|y\|

Cela implique que les octonions forment une algèbre de division normée non-associative. Les algèbres de plus haute dimensions définies par la construction de Cayley-Dickson (par exemple les sédénions) ne satisfont pas cette propriété : elles ont toutes des diviseurs de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation...) et leurs multiplications ne satisfont plus la conservation des normes.

Il s’avère que les seules algèbres de division normées sur les réels sont \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H} et \mathbb{O}. Ces 4 algèbres forment aussi les seules algèbres de division alternatives (Alternatives (titre original : Destiny Three Times) est un roman de Fritz Leiber publié en 1945.), de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) finie sur les réels.

La multiplication des octonions n’étant pas associative, les éléments de \mathbb{O} distincts de zéro ne forment pas un groupe algébrique, ni un corps ou un anneau. Ils forment un quasigroupe (En mathématiques, un quasigroupe est un magma symogène, dans lequel la « division » est toujours possible.) ou groupe additif.

Automorphismes

Un automorphisme \ A\ des octonions est une transformation linéaire inversible de \mathbb{O} sur lui-même qui vérifie

  • A(x\ .\ y)\ =\ A(x)\ .\ A(y).

L’ensemble des automorphismes de \mathbb{O} forme un groupe noté \ \mathbb{G}_2\ . Le groupe \ \mathbb{G}_2\ est un groupe de Lie (En mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est continu, c'est-à-dire que chaque élément du groupe peut être approché d'aussi près que l'on veut par une suite d'autres...) réel simplement connexe et compact, de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre...) 14. Ce groupe est le plus petit des 5 groupes de Lie exceptionnels.

Définition

Chaque octonion est une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire à coefficients réels d’octonions unitaires \{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ l,\ li,\ lj,\ lk\ \}.

Autrement dit, chaque octonion \ x\ peut être écrit sous la forme

  • x\ =\ x_0\ +\ x_1\ .\ i\ +\ x_2\ .\ j\ +\ x_3\ .\ k\ +\ x_4\ .\ l\ +\ x_5\ .\ li\ +\ x_6\ .\ lj\ +\ x_7\ .\ lk,

avec des coefficients réels \ x_n\ . L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) de ces combinaisons linéaires est un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) noté \mathbb{O}, isomorphe à \mathbb{R}^8.

Addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même nature, comme les longueurs, les aires, ou les volumes....)

L’addition des octonions se réalise en additionnant les coefficients correspondants, comme pour les nombres complexes et les quaternions :

(x_0\ +\ x_1\ .\ i\ +\ x_2\ .\ j\ +\ x_3\ .\ k\ +\ x_4\ .\ l\ +\ x_5\ .\ li\ +\ x_6\ .\ lj\ +\ x_7\ .\ lk)\ +
(y_0\ +\ y_1\ .\ i\ +\ y_2\ .\ j\ +\ y_3\ .\ k\ +\ y_4\ .\ l\ +\ y_5\ .\ li\ +\ y_6\ .\ lj\ +\ y_7\ .\ lk)\ =
(x_0+y_0)\ +\ (x_1+y_1).i\ +\ (x_2+y_2).j\ +\ (x_3+y_3).k\ +\ (x_4+y_4).l\ +\ (x_5+y_5).li\ +\ (x_6+y_6).lj\ +\ (x_7+y_7).lk.

Propriétés

L’addition des octonions est commutative :

  • x\ +\ y\ =\ y\ +\ x,

associative :

  • x\ +\ (y +\ z)\ =\ (x\ +\ y)\ +\ z,

et a un élément neutre, zéro, noté \ 0\  :

  • x\ +\ 0\ =\ 0 +\ x\ =\ x.

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) octonion \ x\ existe un octonion unique, noté \ -x\ , tels que leur somme est nulle :

  • \ x\ +\ -x\ =\ 0.
  • Cet octonion, nommé opposé, s'obtient simplement en prenant l'opposé des coefficients réels de \ x\ .

Ainsi l'ensemble des octonions muni de l'addition et de l'opposé est un groupe commutatif.

Soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées opérandes, pour donner un seul nombre,...)

La soustraction des octonions est alors l'opération simplement définie par :

  • \ x\ -\ y\ =\ x\ +\ -y.

Multiplication

La multiplication des octonions est alors complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique...) déterminée par la propriété de distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z on a la propriété suivante : et de même à droite) à droite et à gauche :

  • a\ .\ (b\ +\ c)\ =\ a\ .\ b\ +\ a\ .\ c
  • (a\ +\ b)\ .\ c\ =\ a\ .\ c\ +\ b\ .\ c

a,\ b,\ c sont des octonions quelconques, et zéro l’élément absorbant, et par la table de multiplication (Une table de multiplication affiche dans les lignes et colonnes le résultat de la multiplication de petits nombres entiers naturels.) des octonions unitaires ci-dessous :

. \ 1\ \ i\ \ j\ \ k\ \ l\ \ li\ \ lj\ \ lk\
\ 1\ \ 1\ \ i\ \ j\ \ k\ \ l\ \ li\ \ lj\ \ lk\
\ i\ \ i\ \ -1\ \ k\ \ -j\ \ -li\ \ l\ \ -lk\ \ lj\
\ j\ \ j\ \ -k\ \ -1\ \ i\ \ -lj\ \ lk\ \ l\ \ -li\
\ k\ \ k\ \ j\ \ -i\ \ -1\ \ -lk\ \ -lj\ \ li\ \ l\
\ l\ \ l\ \ li\ \ lj\ \ lk\ \ -1\ \ -i\ \ -j\ \ -k\
\ li\ \ li\ \ -l\ \ -lk\ \ lj\ \ i\ \ -1\ \ -k\ \ j\
\ lj\ \ lj\ \ lk\ \ -l\ \ -li\ \ j\ \ k\ \ -1\ \ -i\
\ lk\ \ lk\ \ -lj\ \ li\ \ -l\ \ k\ \ -j\ \ i\ \ -1\

Dans la table ci-dessus, l’opérande de gauche est indiqué dans la première colonne, et l’opérande de droite est dans la première rangée. Le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) n'est pas symétrique, ce qui signifie que cette multiplication n'est pas commutative.

La table de multiplication peut être définie entièrement par l'identité remarquable :

  • i^2\ =\ j^2\ =\ k^2\ =\ l^2\ =\ ijk\ =\ jki\ =\ kij\ =\ -1.

Plan mnémotechnique de Fano

Plan mnémotechnique de Fano

Un moyen mnémotechnique pour se rappeler les produits des octonions unitaires est donné par le diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des relations, des données statistiques, de l'anatomie etc. employé dans tous les aspects...) ci-contre.

Ce diagramme à 7 points et 7 droites (le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) passant par \ i\ , \ j\ et \ k\ est considéré comme une droite) est appelé le plan de Fano. Les droites sont orientées dans ce diagramme. Les 7 points correspondent aux 7 éléments de base de \mathbb{O}. Chaque couple de points distincts se trouve sur une droite unique et chaque droite traverse (Une traverse est un élément fondamental de la voie ferrée. C'est une pièce posée en travers de la voie, sous les rails, pour en maintenir l'écartement et l'inclinaison, et transmettre au ballast les...) exactement 3 points.

Soit (a,\ b,\ c) un triplet ordonné de points situé sur une droite donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) avec l’ordre donné par la direction de la flèche. La multiplication est donnée par :

a\ .\ b =\ c et
b\ .\ a =\ -c

avec des permutations cycliques. Celles-ci opèrent de la manière suivante :

  • \ 1\ est l’élément neutre pour la multiplication,
  • e^2\ =\ -1 pour chaque point (Graphie) \ e\ du diagramme définit complètement la structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou...) des octonions.

Chacune des 7 droites génère une sous-algèbre de \mathbb{O} isomorphe aux quaternions \mathbb{H}.

Conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire...)

Le conjugué d'un octonion

  • x\ =\ x_0\ +\ x_1\ .\ i\ +\ x_2\ .\ j\ +\ x_3\ .\ k\ +\ x_4\ .\ l\ +\ x_5\ .\ li\ +\ x_6\ .\ lj\ +\ x_7\ .\ lk,

est donné par

  • x^{*}\ =\ x_0\ -\ x_1\ .\ i\ -\ x_2\ .\ j\ -\ x_3\ .\ k\ -\ x_4\ .\ l\ -\ x_5\ .\ li\ -\ x_6\ .\ lj\ -\ x_7\ .\ lk.

La conjugaison est une involution de \mathbb{O} et satisfait

  • (x\ .\ y)^{*}\ =\ y^{*}\ .\ x^{*}

(notons le changement dans l’ordre de succession).

Parties réelle et imaginaire

La partie réelle de l’octonion \ x\ est définie comme suit

  • Re(x)\ =\ \frac{x\ +\ x^{*}}{2}\ =\ x_0

et la partie imaginaire

  • Im(x)\ =\ \frac{x\ -\ x^{*}}{2}\ =\ x_1\ .\ i\ +\ x_2\ .\ j\ +\ x_3\ .\ k\ +\ x_4\ .\ l\ +\ x_5\ .\ li\ +\ x_6\ .\ lj\ +\ x_7\ .\ lk

de sorte que pour tout octonion \ x\ ,

  • Re(x)\ +\ Im(x)\ =\ x,
  • Re(x^{*})\ =\ Re(x),
  • Im(x^{*})\ =\ -Im(x).

L’ensemble de tous les octonions purement imaginaires (dont la partie réelle est nulle) forme une sous-espace à 7 dimensions sur les réels de \mathbb{O}, notée Im(\mathbb{O}), isomorphe à \mathbb{R}^7. Il n'est pas une sous-algèbre parce que la multiplication d'octonions purement imaginaires peut être un réel.

L’ensemble de tous les octonions purement réels (dont la partie imaginaire est nulle) forme une sous-algèbre à 1 dimension de \mathbb{O}, notée Re(\mathbb{O}), isomorphe à \mathbb{R}.

Norme

La norme d’un octonion \ x\ est définie comme suit

  • \|x\|\ =\ \sqrt{x\ .\ x^{*}}

Cette racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) est bien un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres rationnels, qui modélise la notion de longueur et d'autres grandeurs physiques.) positif :

  • \|x\|^2\ =\ x\ .\ x^{*} = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2

Cette norme correspond à la norme euclidienne sur \mathbb{R}^8.

On a aussi:

  • \|x\|\ =\ \sqrt{[Re(x)]^2\ -\ [Im(x)]^2},
  • Re(x)\ =\ \pm\sqrt{[Im(x)]^2 + \|x\|^2},
  • [Im(x)]^2\ =\ [Re(x)]^2 - \|x\|^2 (le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est...) de la partie imaginaire est un réel).

Inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que...)

L’existence d’une norme sur \mathbb{O} implique l’existence d’un inverse pour chaque élément distinct de zéro dans \mathbb{O}. L’inverse de tout \ x\ différent de zéro est donné par

  • x^{-1}\ =\ \|x\|^{-2}\ .\ x^{*}

Cela satisfait

  • x\ .\ x^{-1}\ =\ x^{-1}\ .\ x\ =\ 1.

L'ensemble \mathbb{O}^{*} des octonions non nuls, muni de la multiplication et de l'inverse, est un magma non-commutatif et non-associatif.

Division

La division des octonions \ x\ et \ y\ est alors définie par l’égalité suivante :

  • \frac{x}{y} =\ x\ .\ y^{-1}\ =\  {\|y\|}^{-2}\ .\ x\ .\ y^{*}, avec \ y\ différent de zéro.

Construction de Cayley-Dickson

A l’instar des quaternions assimilés aux couples de nombres complexes (et des nombres complexes assimilés aux couples de nombres réels), les octonions peuvent être traités sous forme de couples de quaternions.

L’addition de couples de quaternions (a,\ b) et (c,\ d) est définie par :

  • (a,\ b)\ +\ (c,\ d)\ =\ (a\ +\ c,\ b\ +\ d)

La multiplication de 2 couples de quaternions (a,\ b) et (c,\ d) est définie comme suit :

  • (a,\ b)\ .\ (c,\ d)\ =\ (a\ .\ c\ -\ d\ .\ b^{*},\ a^{*}\ .\ d\ +\ c\ .\ b)

\ z^{*}\ est le conjugué du quaternion (Un quaternion est un type de nombre hypercomplexe. L'ensemble des quaternions, noté , constitue une extension de l'ensemble des nombres complexes, extension...) \ z\ .

La multiplication d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel \ a\ par un couple de quaternions (c,\ d) est définie par :

  • a\ .\ (c,\ d)\ =\ (a,\ 0)\ .\ (c,\ d), d’où
  • a\ .\ (c,\ d)\ =\ (a\ .\ c,\ a\ .\ d)

On peut alors définir l’algèbre des couples de quaternions par l'ensemble \mathbb{H}^2 des combinaisons linéaires à coefficients réels des couples de quaternions unitaires suivants :

  • (1,\ 0)\ ;\ (i,\ 0)\ ;\ (j,\ 0)\ ;\ (k,\ 0)\ ;
  • (0,\ 1)\ ;\ (0,\ i)\ ;\ (0,\ j)\ ;\ (0,\ k).

Cet ensemble, muni des opérations ci-dessus forme une algèbre à 2 dimensions sur l'ensemble des quaternions, et à 8 dimensions sur l'ensemble des nombres réels.

Soit \ I_0\ l'opération inversible qui associe à tout quaternion de coordonnées réelles (a,\ b,\ c,\ d) l'octonion de mêmes coordonnées dans la sous-algèbre générée par les octonions unitaires {\ 1,\ i,\ j,\ k\ }.

On montre facilement que l’opération I suivante, qui associe tout couple de quaternions (c,\ d) de \mathbb{H}^2 à un octonion de \mathbb{O} telle que :

  • I(c,\ d)\ =\ I_0(c)\ +\ I_0(d)\ .\ l est bijective.

Il s'ensuit que \mathbb{H}^2 est isomorphe à \mathbb{O}.

On démontre alors que les additions et multiplications d’octonions \ o_1\ et \ o_2\ dans \mathbb{O} sont équivalentes aux opérations ci-dessus de couples de quaternions (a_1,\ b_1) et (a_2,\ b_2) dans \mathbb{H}^2:

  • I^{-1}(I(a_1,\ b_1)\ +\ I(a_2,\ b_2))\ =\ (a_1,\ b_1)\ +\ (a_2,\ b_2),
  • I^{-1}(I(a_1,\ b_1)\ .\ I(a_2,\ b_2))\ =\ (a_1,\ b_1)\ .\ (a_2,\ b_2),
  • I(I^{-1}(o_1)\ +\ I^{-1}(o_2))\ =\ o_1\ +\ o_2,
  • I(I^{-1}(o_1)\ .\ I^{-1}(o_2))\ =\ o_1\ .\ o_2.

Par suite, on pourra simplement définir les octonions au moyen de couples de quaternions, en incluant les quaternions dans l'ensemble des octonions munis des opérations de la construction de Cayley-Dickinson et des égalités suivantes :

  • (1,\ 0)\ =\ 1\ ;\ (i,\ 0)\ =\ i\ ;\ (j,\ 0)\ =\ j\ ;\ (k,\ 0)\ =\ k\ ;
  • (0,\ 1)\ =\ l\ ;\ (0,\ i)\ =\ il\ ;\ (0,\ j)\ =\ jl\ ;\ (0,\ k)\ =\ kl..

(dans ce cas, l’isomorphisme I ci-dessus qui devient une simple identité.)

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