Série formelle - Définition

Propriétés

R[[X]] est une algèbre associative sur R qui contient l'anneau R[X] des polynômes à coefficients dans R ; les polynômes correspondent aux suites dont le terme vaut 0 à partir d'un certain rang.

La formule de la série géométrique est valable dans R[[X]] :

Un élément ∑ a_n Xⁿ de R[[X]] est inversible dans R[[X]] si et seulement si son coefficient constant a₀ est inversible dans R. Cela implique que le radical de Jacobson de R[[X]] est l'idéal engendré par X et le radical de Jacobson de R.

Les idéaux maximaux de R[[X]] dérivent tous de R de la manière suivante : un idéal M de R[[X]] est maximal si et seulement si M ∩ R est un idéal maximal de R et M est engendré en tant qu'idéal par X et par M ∩ R.

Plusieurs propriétés algébriques de R sont transmises à R[[X]] :

• si R est un anneau local, alors il en est de même pour R[[X]]
• si R est un anneau noethérien, alors il en est de même pour R[[X]]
• si R est intègre, alors il en est de même pour R[[X]]
• si R est un corps, alors R[[X]] est un anneau à valuation discrète.

L'espace métrique (R[[X]], d) est complet. La topologie sur R[[X]] est la topologie produit sur R^N où R est muni de la topologie discrète. Par conséquent, d'après le théorème de Tychonov, l'espace R[[X]] est compact si et seulement si R est fini. La topologie sur R[[X]] peut également être vue comme la topologie I-adique, où I = (X) est l'idéal engendré par X (il s'agit de l'idéal formé des séries formelles dont le coefficient d'indice 0 est nul).

Si K=R est un corps, il est possible de considérer le corps des fractions de l'anneau intègre K[[X]] ; il est noté K((X)). Ses éléments sont les séries formelles de Laurent, de la forme :

où M est un entier qui dépend de la série de Laurent f. K((X)) est un corps topologique.

Les séries formelles forment une algèbre de Kleene.

Séries formelles de plusieurs variables

La façon la plus rapide de définir l'anneau R[[X₁,...,X_r]] des séries formelles sur R en r variables commence avec l'anneau S = R[X₁,...,X_r] des polynômes sur R. Soit I l'idéal de S engendré par X₁,...,X_r ; considérons alors la topologie I-adique sur S et complétons-la. Le résultat de cette complétion est un anneau topologique complet contenant S et qui est noté R[[X₁,...,X_r]].

Pour n=(n₁,...,n_r)∈N^r, on écrit Xⁿ = X₁^n₁...X_r^n_r. Alors chaque élément de R[[X₁,...,X_r]] de manière unique comme une somme de la façon suivante :

Ces sommes convergent pour n'importe quel choix des coefficients a_n∈R et l'ordre dans lequel les éléments sont sommés n'a pas d'importance.

Si J est un idéal de R[[X₁,...,X_r]] engendré par X₁,...,X_r (i.e. J est constitué des séries dont tous les coefficients sont non nuls), alors la topologie sur R[[X₁,...,X_r]] est la topologie J-adique.

Puisque R[[X₁]] est un anneau commutatif, on peut définir son anneau des séries formelles, noté R[[X₁]][[X₂]]. Cet anneau est naturellement isomorphe à l'anneau R[[X₁,X₂]] défini prédemment, mais ces anneaux sont topologiquement différents.

Si K = R est un corps, alors toutes les séries de K[[X₁,...,X_r]] sont décomposables en facteurs premiers.

Comme pour les séries formelles à une variable, on peut « appliquer » une série formelle à plusieurs variables à une autre série formelle à condition que son coefficient constant a_(0,...,0) soit nul. Il est aussi possible de définir des dérivées partielles de ces séries formelles. Les dérivées partielles commutent comme elles le font pour des fonctions continuement différentiables.