Théorème de Thalès - Définition

Applications du théorème de Thalès

Algèbre géométrique

Le théorème de Thalès offre des égalités entre diverses fractions. Si les droites et les triangles appartiennent à la branche mathématique appelée géométrie, les fractions font partie de l'algèbre. Le fait que le théorème de Thalès offre des égalités sur les fractions en fait une méthode de démonstration qui s'applique à l'algèbre. Il est possible d'établir toutes les lois régissant le comportement des fractions et par là, les mécanismes qui permettent de venir à bout de toutes les équation du premier degré. Cette démarche est décrite dans l'article Algèbre géométrique.

Résultats de géométrie projective et rapport avec les homothéties

En géométrie, le théorème de Thalès ou sa réciproque peuvent être utilisés pour établir des conditions d'alignement ou de parallélisme. Sans faire appel aux notions de droite projective, ils permettent d'obtenir des versions satisfaisantes des résultats relevant en réalité de la géométrie projective. Le théorème de Thalès peut être utilisé comme substitut des homothéties dans les démonstrations.

• Théorème de Ménélaüs : Étant donnés un triangle ABC et trois points A', B' et C' appartenant respectivement aux droites (BC), (AC) et (AB) ; les points A', B' et C' sont alignés si :

• Théorème de Ceva : Étant donnés un triangle ABC et trois points A', B' et C' appartenant respectivement aux droites (BC), (AC) et (AB) ; les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes ou parallèles ssi :

• Théorème de Pappus : Soient deux droites d et d' ; trois points A, B et C de d ; trois points A', B', et C' de d'. On note P, Q, et R les intersections respectives de (AB') et (A'B), de (B'C) et (BC'), et de (AC') et (A'C). Alors les points P, Q et R sont alignés.
• Théorème de Desargues : Soient deux triangles ABC et A'B'C' tels que les droites (AB) et (A'B') sont parallèles, de même pour (BC) et (B'C') et pour (AC) et (A'C'). Alors les droites (AA'), (BB') et (CC') sont parallèles ou concourantes.

Nombres constructibles

Une question qui s'est soulevée durant l'Antiquité, et notamment sous la forme du problème de la quadrature du cercle, est la possibilité de construire une figure à l'aide de la règle (non graduée) et du compas :

• La règle est un instrument idéalisé permettant de considérer une droite passant par deux points déjà tracés ;
• Le compas est un instrument idéalisé permettant de considérer un cercle de centre un point déjà construit et de rayon le report d'une distance réalisée entre deux points déjà construits.

Construction géométrique du produit

Un point du plan euclidien est dit constructible à la règle et au compas s'il peut être obtenu par un nombre fini d'étapes à partir des points de coordonnées (0,0) et (0,1). Suite aux travaux de Georg Cantor, il peut être affirmé que tous les points constructibles à la règle et au compas sont en nombre dénombrable.

Un nombre constructible est un nombre réel qui peut être obtenu comme coordonnée d'un point constructible. L'ensemble des nombres constructibles est stable par somme, produit et inverse. Le théorème de Thalès montre que le produit de deux nombres constructibles est un nombre constructible. En effet, pour deux réels non nuls constructibles x et y, un calcul donne la justification de la construction ci-contre :