En mathématiques et en logique, une variable est un symbole utilisé pour marquer un rôle dans un prédicat, une formule ou un algorithme.
Les Babyloniens ne connaissaient que les nombres et les opérations sur eux, comment faisaient-ils pour expliquer comment calculer la longueur et la largeur d'une citerne dont ils connaissaient le volume, la hauteur et la différence entre la longueur et largeur? Ils décrivaient la méthode de calcul (l'algorithme) sur des exemples et reproduisaient plusieurs exemples pour que l'apprenant assimile la méthode. Aujourd'hui cela serait diffèrent : nous donnerions des formules avec, à la place des données et des résultats, des valeurs fictives que nous remplacerions par des lettres (ou des noms faits de plusieurs lettres). Dans ce que nous venons de dire, outre le mot « variable », les mots clés sont « lettre » ou « nom », « remplacement » et « expression ». Une variable est donc quelque chose qui est décrit par une lettre ou un nom, qui apparaît dans une expression et que l'on peut remplacer par une valeur, par exemple par un nombre, qui peut exprimer une hauteur ou un volume. Remplacer veut dire que l'on enlève la lettre ou le nom de là où elle se trouve dans l'expression et que l'on met au même endroit une valeur. Dans l'exemple qui nous intéresse, si vol est le volume, h est la hauteur, et d est la différence entre la longueur L et la largeur l, on a
Nous pouvons remplacer d par 6, vol par 14, h par 2 et nous obtenons:
c'est-à-dire L=7 (la longueur est 7) et l=1 (la largeur est 1).
Dans le cas général, une variable peut marquer la place d'un nombre entier, d'un nombre réel, d'un point du plan ou de l'espace, d'une fonction, d'un ensemble etc. bref de tout objet mathématique.
La variable varie-t-elle ? La réponse est non, du moins ce n'est pas l'interprétation que nous devons avoir d'une variable. Considérons par exemple, une voiture qui se déplace sur une route rectiligne à la vitesse de 50 km/h. On note x sa distance parcourue en km par rapport à un poteau P, situé sur le bord de la route et t le temps écoulé en heures à partir de l'instant où elle passe devant le poteau. Il ne faut pas imaginer que la variable x varie au cours du temps, et change en fonction de t, mais que x décrit la position de la voiture par rapport au poteau, et de façon intemporelle. De même t marque une notion générale de temps écoulé et ne doit pas être considéré comme représentant ce qu'indique une horloge mise en marche dès que la voiture passe devant le poteau. Maintenant, d'après l'énoncé les variables x et t sont liées par la relation x = 50.t, il apparaît donc que la variable x « dépend » de la variable t et que x « varie en fonction » de t. Cette remarque peut laisser croire que finalement x variait bien au cours du temps, mais ce n'est pas le cas. Il est indispensable de rappeler la relation et dire que si t prend une certaine valeur, alors comme x = 50.t, x prend une valeur 50 fois supérieure - dans le contexte du système d'unités choisi - ce qui est tout à fait logique. Par exemple, si on suppose que t = 1, la relation x = 50.t étant vérifiée, alors x = 50, donc la voiture aura parcouru 50 km au bout d'une heure. La phrase « x est fonction de t » signifie qu'il existe une fonction f telle que x = f(t) dans les conditions supposées. Cette fonction n'est autre que celle qui à tout nombre u associe 50.u. Une variable prend ses valeurs parmi les éléments d'un certain ensemble, mais les conditions d'un problème peuvent lier plusieurs variables les unes aux autres par des relations.
Si ce ne sont pas les variables qui varient alors les fonctions varient-elles ? Non, puisqu'une fonction en tant qu'objet mathématique associe invariablement à un nombre donné une valeur toujours déterminée de la même manière. Considérons par exemple la fonction f : x → 5x + 2 et a un nombre réel. L'image de a par f, notée f(a), représente la valeur prise par f en le réel a soit 5a + 2. La fonction exprime une relation immuable entre f(a) et a.