Variété (géométrie) - Définition

Définition des variétés

Définition des variétés topologiques

La définition précise des variétés nécessite l'usage d'un vocabulaire relativement spécialisé. Si on veut entrer dans les détails, une variété topologique de dimension n, ou n-variété, est un espace topologique séparé, localement homéomorphe à un espace vectoriel réel de dimension n. On la supposera en outre généralement à base dénombrable d'ouverts. La motivation de ces diverses hypothèses est discutée dans l'article variété topologique.

La lemniscate de Bernoulli dans le plan. Ce n'est pas une variété car elle ressemble à une croix au voisinage du point double.

Dans l'exemple du cercle, il est possible de trouver des homéomorphismes locaux (les cartes) avec la droite réelle. En revanche sur la lemniscate de Bernoulli de la figure ci-contre, il n'existe pas de carte locale au voisinage du point double. En effet en prenant un voisinage en forme de disque, si petit soit-il, de ce point, le morceau de lemniscate est une croix ce qui en topologie est distinct d'un morceau de droite.

Les variétés peuvent être un seul morceau, ce qui se formalise par la notion de connexité, ou constituées de plusieurs morceaux portant le nom de composantes connexes.

Au moins dans le cas connexe, il est possible de ne pas fixer a priori de dimension dans la définition d'une variété. En effet dans ce cas le théorème d'invariance de la dimension de Brouwer (1912) montre que les homéomorphismes locaux définis sur les ouverts de l'espace topologique aboutissent tous à des espaces vectoriels d'une même dimension. On retrouve dans cette dimension commune la dimension de la variété.

Structures différentielles

Sur une variété topologique, il n'est pas possible de définir une notion de fonction différentiable. De ce fait, les méthodes fécondes et théorèmes importants issus du calcul différentiel sont inapplicables, alors même que certains — le théorème des fonctions implicites par exemple — prennent tout leur sens par une interprétation géométrique et sont, au fond, des énoncés destinés à l'étude des variétés.

Il est donc nécessaire d'introduire quelques restrictions à la notion de variété si on souhaite disposer de ce vaste champ de méthodes, notamment du concept de vecteur tangent ou de celui de sous-ensemble de mesure nulle. Pour essayer de donner une analogie, une simple variété topologique de dimension 1 est une courbe absolument quelconque ; sa structure très souple ne permet pas de distinguer un cercle d'une courbe fractale, par exemple un flocon de Koch. Au contraire la ressemblance entre une variété différentielle de dimension 1 et un cercle est bien plus rigide.

Techniquement, la définition la plus usuellement rencontrée consiste à ajouter une information supplémentaire à la structure topologique de la variété ; on introduira un sous-ensemble de l'ensemble de tous les homéomorphismes entre un ouvert de la variété et un ouvert de Rⁿ qu'on appellera un atlas, les homéomorphismes appartenant à la variété étant appelés des cartes. On exige d'abord que les cartes couvrent toute la variété. Pour pouvoir ensuite définir des fonctions p fois différentiables sur la variété, il est nécessaire d'exiger une condition technique supplémentaire : que les applications de «changement de cartes» (obtenues par composition d'une carte et de la réciproque d'une autre) soient elles-mêmes p fois continûment différentiables. On parle alors de variété de classe C^p, ou de variété analytique si on requiert la R-analyticité des changements de cartes.

Autres structures additionnelles

De même que spécifier une structure différentielle particularise une variété topologique, et offre une nouvelle boîte à outils à l'utilisateur, on peut énumérer d'autres définitions particularisant cette fois le concept de variété différentielle.

Ainsi ceux de :

• Variété riemannienne : une variété riemannienne est une variété munie d'un métrique riemannienne, ce qui permet non seulement le calcul des distances mais aussi l'analyse fonctionnelle sur les variétés. En physique, on emploie plus couramment tenseur métrique au lieu de métrique riemannienne. Une variété pseudo-riemannienne dispose d'un tenseur métrique qui n'est pas défini positif. Ces variétés sont à la base de la relativité générale.

• Variété symplectique : une variété symplectique est une variété utilisée pour représenter les espaces de phase en mécanique classique. Elle est munie d'une forme différentielle qui définit l'opérateur crochet de Poisson.

• Groupe de Lie : un groupe de Lie est une variété disposant d'une structure de groupe compatible avec sa structure de variété.