Variété (géométrie) - Définition et Explications

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Introduction

Réalisation du ruban de Möbius, à partir du collage d'une bande de papier. Le "bord" n'est que d'un seul tenant.

En mathématiques, une variété est un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité...) abstrait, construit par recollement d'autres espaces simples. Comme les enfants s'amusent à construire avec du papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous...) des tétraèdres, des cubes et autres polyèdres en dessinant la figure d'un patron sur une feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau des nœuds. À...) blanche, en découpant convenablement les bords, en pliant et en recollant, les mathématiciens obtiennent un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) en repliant un segment sur lui-même, un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe directrice et gardant une...) ou un cône en repliant une bande plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le...) sur elle-même. Un autre exemple classique est le ruban de Möbius (Le ruban de Möbius est une curiosité topologique très facile à confectionner, comme le montre le schéma ci-dessous.) illustré ci-contre (en toute rigueur, c'est un exemple de ). Il est également possible de rajouter des anses à une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même...).

Parmi les variétés les plus simples figurent les courbes et surfaces du plan et de l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie...). Traditionnellement définies par des équations, elles s'obtiennent toutes, au même titre que les polyèdres, à partir d'un « patron » plan et d' « instructions de collage ». C'est là le mode de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) général des variétés.

Il est difficile de dire qui le premier a étudié les courbes ou les surfaces. Gauss disposait de la notion de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...) abstraite, mais la notion générale de variété en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) quelconque est due à Bernhard Riemann. Les variétés se sont imposées comme le cadre naturel de nombreux problèmes de mathématiques et de physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...), permettant de travailler dans un cadre plus vaste que celui, trop étroit, fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων) appelés plus...) par les espaces vectoriels. On donne parfois à ces derniers le nom d’espaces plats ou d’espaces euclidiens pour les distinguer des espaces courbes que sont les variétés.

La topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à...) cherche à classer les variétés (mais aussi des objets plus généraux) en en déterminant des invariants, c'est-à-dire des objets mathématiques - qui peuvent être des nombres réels - associés à chaque variété et qui en caractérisent la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).). Certaines variétés sont munies de structures plus fortes : il est du ressort de la topologie différentielle, puis de la géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant...), de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) riemannienne et de la géométrie symplectique (La géométrie symplectique est un domaine actif de la recherche mathématique, né de la volonté d'une formulation mathématique naturelle à la mécanique classique. Elle est à la rencontre de la...) de les étudier et de les classifier. Ces domaines sont encore aujourd'hui l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui...) de nombreux travaux de recherches.

Les variétés constituent à la fois un cadre et un sujet d'étude communs pour les chercheurs en mathématiques et en physique. Elles se sont avérées les bons outils de travail pour formaliser la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux...) d'Einstein et ont fortement servi dans la physique post-newtonienne, dont la théorie des cordes (La théorie des cordes est l'une des voies envisagées pour régler une des questions majeures de la physique théorique : fournir une...), la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des membranes, ... Les variétés sont devenues tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) aussi utiles (voire indispensables) dans des travaux récents de mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de...) classique.

Introduction

Les difficultés qui existent pour représenter sur un plan une surface sphérique comme la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des quatre planètes...), sont un bon moyen d'appréhender la géométrie différentielle. C'est aussi la raison pour laquelle le vocabulaire de cette branche des mathématiques emprunte beaucoup à celui de la cartographie (La cartographie désigne la réalisation et l'étude des cartes géographiques. Le principe majeur de la cartographie est la représentation de données sur un support...).

Les cartes

On se déplace sur la sphère terrestre en utilisant des cartes géographiques planes, rassemblées en un atlas. Au bord d'une carte figure l'information nécessaire pour y « recoller mentalement » la carte suivante. Pour opérer ce recollement, une certaine redondance dans l'information est nécessaire : ainsi la carte de l'Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité occidentale du continent eurasiatique, voire...) et celle de l'Asie (L'Asie est un des cinq continents ou une partie des supercontinents Eurasie ou Afro-Eurasie de la Terre. Il est le plus grand continent (8,6 % de la surface totale...) peuvent toutes deux contenir Moscou (). De manière similaire, il est possible de décrire une variété en utilisant une collection de cartes, réunies en un atlas mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....), indiquant comment passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) d'une carte à l'autre. Le globe terrestre fournit un exemple typique de variété, puisqu'il peut être représenté par une collection de cartes géographiques.

La sphère est une variété riemannienne. On voit ici un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...) « infiniment petit » et un « gros » triangle.

Une carte est une portion de la variété analogue à une portion d'espace vectoriel ; les changements de cartes indiquent comment ces portions de variétés se raccordent entre elles. Ainsi, pour décrire un cercle il est possible de prendre comme cartes deux arcs qui se chevauchent ; le changement de cartes constitue une information sur le recollement au niveau de la zone de chevauchement.

Il n'est généralement pas possible de décrire une variété à l'aide d'une seule carte, parce que la structure globale de la variété est différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la...) de la structure simple de l'espace modèle. Par exemple, aucune carte « plate » ne peut décrire convenablement la Terre entière. Les variétés apparaissent comme des espaces topologiques et leurs topologies sont uniquement déterminées par la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) de leurs atlas respectifs.

Suivant la nature des applications de changement de cartes, la variété possède une structure plus ou moins forte : variété topologique, variété différentielle, variété symplectique, variété localement plate par exemple. Pour une variété topologique, la donnée d'un atlas équivaut simplement à la donnée d'une topologie dont les ouverts suffisamment petits s'identifient à l'espace plat. Pour les structures plus fines citées, l'introduction de cartes est indispensable pour les définir.

La dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) et la topologie

Exemples de courbes :  cercles,  paraboles,  hyperboles,  cubique.

La première notion attachée à une variété est sa dimension. Elle désigne le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de paramètres indépendants qu'il faut se fixer pour positionner localement un point (Graphie) sur la variété.

  • Les courbes sont des variétés de dimension un puisque l'abscisse curviligne par exemple suffit à décrire la position.
  • Sur une surface, il faut deux coordonnées : ainsi sur une sphère il faudra préciser latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) et longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre (ou sur une autre planète).), comme c'est le cas pour indiquer l'emplacement d'une ville (Une ville est une unité urbaine (un « établissement humain » pour l'ONU) étendue et fortement peuplée (dont les habitations doivent être à moins de 200 m chacune,...) sur le globe terrestre.
  • Il existe de nombreuses variétés de dimension supérieure à deux, qu'il est difficile de représenter graphiquement. Elles ne peuvent en effet se représenter dans notre espace environnant, qui est de dimension trois (largeur, longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa...), hauteur).

Toutes les variétés de même dimension n — ou n-variétés — ont la même topologie locale. Par définition, une petite portion de ces variétés ressemble toujours à un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) réel de dimension n. Ainsi une petite portion de courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...) est l'analogue courbe d'une droite, une petite portion de surface l'analogue courbe d'un plan, et ainsi de suite.

En revanche, les variétés se distinguent par leur aspect global. Par exemple sur la figure ci-contre, la variété rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.) est formée de deux morceaux bornés (deux cercles), et il est visiblement impossible de déformer continûment celle-ci pour obtenir une des trois autres courbes.

Autre exemple, une sphère et un tore (Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :) ne se ressemblent pas topologiquement. Tout cercle tracé sur une sphère la sépare en au moins deux morceaux disjoints ; cependant, il existe de nombreux cercles tracés sur un tore qui ne le séparent pas en morceaux disjoints. Plus généralement, la topologie peut se compliquer par la présence de « trous », d' « anses », etc.

Variété abstraite et sous-variété

Représentations imparfaites de la bouteille de Klein (En mathématiques, la bouteille de Klein est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle on ne peut pas définir un « intérieur » et un...) dans un espace à trois dimensions : elles présentent une auto-intersection dont il faut s'abstraire.

De nombreux sous-ensembles particuliers du plan, de l'espace de dimension 3 peuvent être naturellement munis d'une structure de variétés : le cercle, le cylindre, la sphère, le ruban de Möbius etc. On les appelle sous-variétés ou variétés plongées. Il existe en outre une notion de variété abstraite, qui sont construites sans qu'on les considère comme une sous-variété. L'exemple le plus simple est l'espace projectif de dimension n : c'est simplement l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de toutes les droites passant par l'origine dans un espace vectoriel de dimension n+1. Un autre exemple est la bouteille de Klein, représentée ci-contre de façon imparfaite. Pour mieux l'appréhender visuellement, il faut imaginer un artisan verrier prenant une bouteille ordinaire, perçant son fond, allongeant le goulot, le courbant, et le faisant pénétrer magiquement à travers un côté de la bouteille pour le relier au fond. Elle peut être décrite par un système de cartes, et de coordonnées figuré par le maillage de méridiens et de parallèles ci-contre.

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de plongement de Whitney montre que toute variété abstraite de dimension n peut être réalisée comme sous-variété d'un espace de dimension suffisamment grande, à savoir de dimension 2n. Ainsi la bouteille de Klein ne peut être plongée dans l'espace à trois dimensions, mais forme une sous-variété de l'espace à quatre dimensions.

L'introduction des variétés abstraites peut paraître superfétatoire au premier abord. Cependant, s'affranchir de la considération de l'« espace ambiant », celui dans lequel est plongée la variété, peut aussi présenter des avantages. En particulier, de nombreux modes de construction de nouvelles variétés à partir de variétés déjà définies, à l'exemple des quotients et des recollements topologiques (voir plus loin), ne font intervenir que les variétés elles-mêmes, et (surtout) pas l'espace qui pourrait éventuellement les entourer. Quand bien même en théorie il est possible de les réaliser comme sous-variétés d'un espace vectoriel, il ne serait pas judicieux de le faire en pratique, et cela ne présenterait aucun intérêt.

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