Classe (mathématiques) - Définition

En mathématiques, en dehors de la théorie des ensembles, on utilise le mot classe de façon alternative au mot ensemble. D'ailleurs dans les années autour de 1900, certains logiciens et mathématiciens comme Giuseppe Peano ou Bertrand Russell parlaient de classe plutôt que d'ensemble. Actuellement c'est le plus souvent pour suivre un usage particulier, comme quand on parle de classe d'équivalence. Parfois c'est pour la clarté d'expression : dans certains contextes, on choisira de parler de classe d'ensembles plutôt que d'ensemble d'ensembles. Mais en théorie des ensembles, le mot classe a pris un usage spécifique.

Après la découverte des paradoxes de la théorie des ensembles au début du XX^e siècle, on en est venu à donner à ce terme un sens plus précis. On distingue les notions d'ensemble et de classe ; un ensemble est une classe, mais une classe n'est pas forcément un ensemble. Ainsi la propriété " ne pas appartenir à soi-même " (x ∉ x) ne définit pas un ensemble, sous peine de paradoxe. C'est une classe.

Notion de classe

Les classes en théorie des ensembles

Pour fixer le vocabulaire, on va parler dans la suite de collection pour désigner un ensemble au sens intuitif, y compris dans un modèle de la théorie des ensembles — c’est une terminologie souvent utilisée, mais non universelle. On sait, depuis la découverte par Russell de son fameux paradoxe, que certaines collections d’objets, dont on peut parler dans le langage de la théorie, comme la collection des ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes, ne peuvent être des ensembles, sous peine de voir la théorie devenir contradictoire. Pour y remédier, Zermelo choisit de ne conserver que des cas particuliers de l’axiome de compréhension non restreint, qui dit que toute propriété — par exemple : " ne pas appartenir à soi même " — définit un ensemble. En théorie axiomatique des ensembles, ces collections d’objets, qui sont définies par une propriété de leurs éléments, mais qui ne sont pas forcément des ensembles au sens de la théorie, sont appelées classes. Les classes qui ne sont pas des ensembles sont appelées classes propres. On peut voir celles-ci comme des collections que l’on peut décrire dans la théorie, mais qui sont trop " grosses " pour être des ensembles.

Dans une théorie des ensembles comme ZFC, les classes sont des collections qui sont identifiées par une propriété de leurs éléments exprimée dans le langage de cette théorie. On peut donc les identifier aux prédicats du langage. Il est tout de même parfois plus intuitif de parler de classe, avec le langage ensembliste afférent (intersection, réunion, etc.), que de parler de prédicat. Deux prédicats désignent la même classe si et seulement s'ils sont équivalents ; dans le cadre des ensembles, on évoque la propriété d’extensionnalité. On peut manipuler les classes avec les opérations correspondant aux opérations logiques usuelles sur les prédicats : opérations booléennes, disjonction — donc réunion —, conjonction — donc intersection et produit cartésien —, négation — donc passage au complémentaire —, quantificateurs — donc en particulier projection —, etc. Cependant les classes ne sont pas des objets de la théorie. Il n’est donc pas question de classe de classes, et encore moins d’ensemble de classes !

Notations

L’usage est d’utiliser des lettres majuscules pour les classes. On peut tout à fait conserver, pour noter les classes, les notations usuelles pour les prédicats, ou, quand on sait ce que l’on fait, étendre les notations ensemblistes usuelles. L’appartenance à une classe " x appartient à la classe V " se note, en conservant la forme des prédicats, V(x), ou, par abus de notation, en étendant l’usage du symbole ∈, x ∈ V. Dans ce dernier cas un nom de classe ne peut figurer qu’à droite du signe d’appartenance ; il s’agit d’une abréviation pour V(x) — en notant de la même façon une classe et un prédicat qui la définit.

De la même façon, pour les opérations ensemblistes usuelles, on peut utiliser les connecteurs logiques ou étendre l’usage des notations usuelles. Par exemple, pour l’intersection de deux classes V et W, on peut écrire V(x) ∧ W(x) ou V ∩ W.

Toujours dans le même esprit on écrit souvent V = W pour indiquer que les deux classes V et W sont égales ; cela se traduit en langage ensembliste par l’équivalence logique ∀x [V(x) ↔ W(x)]. Ainsi l’égalité de l’ensemble a et de la classe V peut se noter a = V ; c’est une abréviation pour l’énoncé ∀x [x ∈ a ↔ V(x)]. Alors, V étant fixé, le prédicat y = V définit lui même une classe, qui est la classe vide dès que V est une classe propre — définie par exemple par x ∉ x (voir ci–dessous).

Exemples de classes propres

On se place dans une théorie des ensembles comme Z, ZF ou ZFC. Évidemment, grâce au prédicat d’appartenance, tout ensemble a " est " une classe : celle-ci est définie par le prédicat x ∈ a. Les paradoxes classiques de la théorie des ensembles fournissent des classes propres.

• Ainsi, le paradoxe de Russell se reformule, de façon cette fois non contradictoire, en disant que la classe des ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes — prédicat x ∉ x — est une classe propre.

• On peut définir le prédicat " être un ordinal " en théorie des ensembles : en prenant la définition de von Neumann, un ordinal est un ensemble transitif — c'est–à–dire que tous ses éléments sont des sous–ensembles — sur lequel l’appartenance définit un bon ordre strict. Le paradoxe de Burali-Forti se reformule en disant que la classe de tous les ordinaux est une classe propre.

On en déduit que d’autres classes sont des classes propres.

• La propriété " être un ensemble " s'écrit x = x — ou n’importe quelle propriété de x toujours vraie. On peut donc parler de la classe de tous les ensembles. Du schéma d'axiomes de compréhension on déduit que la classe de tous les ensembles n’est pas un ensemble — sinon, la classe des ensembles qui ne s'appartiennent pas en serait un par compréhension. C’est une classe propre.

• La propriété " avoir un seul élément " s'écrit ∃y [(y ∈ x) ∧ ∀z (z ∈ x → z = y)]. On peut donc parler de la classe des singletons. C’est une classe propre, car sinon, par l’axiome de la paire — dont on déduit que, pour tout ensemble a, {a} est un ensemble — et par l’axiome de la réunion, on en déduirait que la classe de tous les ensembles est un ensemble.

• En reprenant le raisonnement précédent, on montre que les classes d’équipotence — classes d’équivalence pour la relation " être en bijection ", c'est–à–dire avoir le même nombre d’éléments — sont des classes propres.

• Le dernier résultat montre que, si l’on définit les cardinaux comme des classes d’équipotence, il n’est pas possible de parler d’ensembles voire de classes de cardinaux. On préfère donc définir — dans ZFC, il faut le schéma d'axiomes de remplacement et l’axiome du choix — un cardinal comme un ensemble : un cardinal est un ordinal qui n’est pas équipotent à un ordinal strictement plus petit. Ceci s’exprime dans le langage de la théorie des ensembles ; on peut donc parler de la classe des cardinaux. Cette classe est une classe propre. On peut le montrer en reprenant l’argument du paradoxe de Cantor — tout ensemble a un cardinal par l’axiome du choix — ou en se réduisant à l’un des paradoxes ci-dessus.

Théories des classes

En 1925, John von Neumann propose une théorie axiomatique des ensembles, avec deux types d’objets fondamentaux — les ensembles et les classes —, qui est dérivée de la théorie ZFC — théorie de Zermelo–Fraenkel avec axiome du choix. Cette théorie a été ensuite revue et simplifiée par Paul Bernays (1937), qui a montré comment en donner une axiomatisation finie, puis Kurt Gödel (1940). Elle est connue sous le nom de " théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel ", abrégée en NBG. Il s'agit, comme ZFC, d’une théorie du premier ordre, mais les classes permettent, d’une certaine façon, de représenter certains prédicats de la théorie, essentiellement ceux que l’on peut énoncer dans le langage de la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel.

Alors que la théorie NBG est une extension conservative de ZFC — elle prouve les mêmes énoncés de la théorie des ensembles —, la (en) théorie des ensembles de Morse–Kelley est une théorie des classes strictement plus forte que NBG. Cette dernière est toujours une théorie du premier ordre, mais que l’on peut voir comme une extension de la théorie ZFC au second ordre — quantifications sur les variables de prédicat.

La théorie NBG peut être vue comme une autre présentation de la théorie ZFC, et peut sembler plus commode pour manier la notion de classe, en l’introduisant d’une façon peut–être plus usuelle en mathématiques. Elle est souvent invoquée pour certains développements de la théorie des catégories.

Cependant, le fait d’étendre le langage de base — en introduisant des variables de classes — a des conséquences dès qu’il s’agit de raisonner sur les théories elles–mêmes, en particulier pour les preuves d’indépendance, le quotidien des théoriciens des ensembles. Ceux-ci préfèrent donc conserver le langage usuel de la théorie de Zermelo-Fraenkel pour la simplicité de son maniement^[1]. Ceci n’empêche pas de parler de classe, comme cela a été montré dans la première partie de l’article.