Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.
Le système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce...) est largement le plus répandu. Ainsi sont constituées, par exemple, les numérations :
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Les peuples ayant une base de numération (La numération désigne le mode de représentation des nombres. Aussi, elle concerne...) décimale ont employé, au cours du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...), des techniques variées pour représenter les nombres. En voici quelques exemples.
Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les puissances de dix sont de type additif. C'est le cas de la numération égyptienne (Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient un système de numération décimal...). Exemple : 1506 s'écrit
en écriture hiéroglyphique (1000+100+100+100+100+100+1+1+1+1+1+1).
De tels systèmes de numération sont aussi de type additif, mais font intervenir un système quinaire auxiliaire. C'est le cas des numérations attique, étrusque, romaine et tchouvache. Exemple : 2604 s'écrit MMDCIIII. en chiffres romains (1000+1000+500+100+1+1+1+1). La numération romaine (Les chiffres romains étaient un système de numération utilisé par les Romains...) connait également une variante additive et soustractive : 2604, de cette manière, s'écrit MMDCIV. (1000+1000+500+100-1+5).
Les systèmes de numération employant neuf chiffres pour les unités, ainsi que pour les dizaines, les centaines, etc. sont encore de type additif. C'est le cas des numérations arménienne, arabe alphabétique, gotique, grecque et hébraïque. Exemple : 704 s'écrit ψδ en chiffres grecs ioniques (700+4).
Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les unités et les puissances de dix sont de type hybride (En génétique, l'hybride est le croisement de deux individus de deux variétés,...). C'est le cas des numérations chinoise et japonaise. Exemple : 41007 s'écrit ???? dans le système japonais (4×10000+1000+7). Le système chinois utilise en plus le zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...) pour indiquer des positions vides avant les unités : 41007, s'écrit ????? en chiffres chinois (4×10000+1000+0+7).
Les systèmes de numération dont les chiffres représentent les unités sont de type positionnel. C'est le cas des numérations arabe non-alphabétique, européenne, de la plupart des numérations indiennes et des numérations mongole et thaï. Exemple : 8002 s'écrit ???? en chiffres thaïs (8002).
La base dix est très ancienne. Elle découle d'un choix naturel, dicté par le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) des doigts des deux mains. Les Proto-indo-européens comptaient probablement en base dix. Un système de notation décimal a été mis au point (Graphie) par :
Voir aussi : Écriture décimale positionnelle.
Les numérations décimales utilisent parfois des bases auxiliaires :
Certains autres systèmes utilisent un système décimal auxiliaire :
En Chine les mesures de capacité et de poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la...) sont décimalisées vers 170 av. J.-C. Aux États-Unis, le système monétaire est décimal en 1786. En Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un...), la décimalisation des unités est initiée en France à partir du 22 août 1790, date à laquelle Louis XVI demande à l'Académie des Sciences (Une académie des sciences est une société savante dont le rôle est de promouvoir la recherche...) de nommer une commission pour définir les poids et mesures. Cette dernière préconise la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...) décimale.
La base dix comporte quelques atouts :
Cependant, la base dix n'est pas celle qui offre le meilleur bénéfice, car elle ne s'appuie pas sur un nombre ayant des propriétés avantageuses :
Pour passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques...) d'un nombre en base 10 à un nombre en base N, on peut appliquer la méthode suivante :
Soit K le nombre en base 10 à convertir en base N.
Exemple : conversion du nombre 3257 en base 16
Sachant que 11 se note B et que 12 se note C, l'écriture de 3257 en base 16 est CB9.
Pour passer d'un nombre en base N à un nombre en base 10, on peut appliquer la méthode suivante ::
Soit K le nombre en base N à convertir. Pour tout chiffre (Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres.) c de rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...) r dans K, on calcule c×N r. La représentation de K en base 10 est la somme de tous les produits.
Exemple
Le nombre " 10110 " en base 2 s'écrit en base 10 :
Exemple
Le nombre " 3FA " en base 16 s'écrit en base 10 :
Rappel : F en base seize vaut 15 en base dix, A en base seize vaut 10 en base dix.