Formule de la déviation vers l'est
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

La formule de déviation vers l'est est une forme simplifiée de la représentation vectorielle de la force d'intertie de Coriolis qui permet de calculer la déviation vers l'est d'un corps en chute libre dans l'atmosphère terrestre.

La longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement développé.) de cette déviation est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par la formule approchée :

D = \frac{2}{3}\omega \cdot T_0 \cdot h \cdot \cos(L)

où :

  • \omega = \frac{2\pi}{T} représente la vitesse angulaire (En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation.) de rotation de la terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus...),
  • T_0=\sqrt{\frac{2h}{g}} est le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de la chute,
  • h est la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) de la chute,
  • L la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) à laquelle est effectuée l'expérience (0 à l'équateur, \frac{\pi}{2} aux pôles).

Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...) rigoureuse

On part de la représentation vectorielle de la force de Coriolis (Dans un système de référence (référentiel) en rotation uniforme, les corps en mouvement, tels que vus par un observateur partageant le même référentiel, apparaissent sujets à une force d'inertie...), et on remplace le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un...) vitesse (On distingue :) par la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant le rapport...) du vecteur position :

\vec{F_C} = - 2m \cdot (\omega \cdot \vec{k}) \wedge \frac {d\vec{AM}}{dt}

où :

  • \vec{k} est parallèle à l'axe de rotation de la Terre, orienté vers le nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.);
  • A est le point (Graphie) d'origine, référentiel tournant lié à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...) de la Terre.

Le principe fondamental de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) permet d'écrire l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique, l'accélération est une grandeur vectorielle qui indique la modification affectant...) comme somme de la force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage...) d'attraction de la Terre et de la force de Coriolis :

\frac{d^2\vec{AM}}{dt^2} = \frac{1}{m} ( m \vec{g} + \vec{F_C} ) = g \cdot \vec{u} - 2 \omega \cdot \vec{k} \wedge \frac {d\vec{AM}}{dt}

\vec{u} est dirigé selon la verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.) descendante.

On intégrant une fois pour trouver la vitesse :

\frac{d\vec{AM}}{dt} = gt \cdot \vec{u} - 2 \omega \cdot \vec{k}\wedge \vec{AM} + \vec{0}

la vitesse initiale étant nulle.

On intègre à nouveau pour obtenir la position du corps en fonction du temps :

\vec{AM} = \frac{1}{2}gt^2 \cdot \vec{u} + \vec{D}(t)

où la déviation est donnée par : \vec{D}(t) = - 2\omega \cdot \vec{k}\wedge\int_0^t\vec{AM}dt + \vec{0} (car A est l'origine).

Approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez...) du premier ordre

La déviation vers l'est étant petite devant la déviation due à la pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un lieu donné tous les corps libres tombent...), on prend comme approximation :

\vec{AM}(t) \approx \frac{1}{2}gt^2 \cdot \vec{u}

d'où le résultat :

\vec{D}(t) = -2\omega \cdot \vec{k} \wedge \int_0^t (\frac{1}{2}gt^2 \cdot \vec{u}) dt = -2\omega\frac{1}{2}g \cdot \frac{t^3}{3} \cdot \vec{k}\wedge \vec{u}

qui est valide si D est petit devant h, c’est-à-dire pour T0 (temps de chute) petit devant T = 86 164 s (période sidérale) :

D(T_0) = -\omega g \frac{T_0^3}{3} \cdot \vec{k} \wedge \vec{u} = \frac{1}{3} \omega \cdot (g \cdot T_0^2) \cdot T_0 \cdot - \vec{k} \wedge \vec{u}

soit, en valeur absolue :

D = \frac{2}{3}\omega \cdot T_0 \cdot h \cdot \cos(L)

Compléments

  • Un autre terme, encore plus faible, donne une déviation vers le sud (Le sud est un point cardinal, opposé au nord.) dans l'hémisphère nord, et vers le nord dans l'hémisphère sud : il vaut -\frac{1}{6}g\omega^2 \cdot t^4 \cdot sin(L) \cdot cos(L).
  • Une grande question que se posaient les théoriciens : en réduisant la terre à un point massique central, quelle serait la déviation sur une chute de R = 6 400 km ? En utilisant l'ellipse de Kepler, on trouve : D = paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) de l'ellipse = R·(1/17)2 = R/289 soit environ 22 kilomètres (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international. Il est défini comme la distance parcourue par la...).
  • On peut remarquer la parenté de l'équation de la force de Coriolis avec celle de l'effet Hall (L'effet Hall classique a été découvert en 1879 par Edwin Herbert Hall : un courant électrique traversant un matériau baignant dans un champ magnétique engendre une tension perpendiculaire à ceux-ci.) en électricité (L’électricité est un phénomène physique dû aux différentes charges électriques de la matière, se manifestant par une énergie. L'électricité désigne également la branche de la...).

Histoire

Huygens (1629-1695) qui était sur la piste de la force de Coriolis avec sa théorie de la relativité (Cet article traite de la théorie de la relativité à travers les âges. En physique, la notion de relativité date de Galilée. Les travaux d'Einstein en ont...) totale, n'a pas fait le poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre....) face à Isaac Newton (Sir Isaac Newton était un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais né le 4 janvier 1643 du calendrier grégorien[1] au manoir de...) et ses notions de temps et d'espace absolu. Ce dernier étouffa par la monumentalité de son œuvre toute tentative relativiste, et il ne voulait pas manier les forces d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se...). La force de Coriolis (1792-1843) ne sera énoncée que tardivement au XIXe siècle.

Newton a fait la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) de la déviation vers l'est en 1679 dans le référentiel " absolu " géocentrique. Pour faire simple, prenons le cas équatorial. Il remarque, mais il n'était pas le premier à le faire, que le point A avait une vitesse ω·(R + h), soit une vitesse plus grande que la vitesse du point O situé sur le sol à la verticale descendante de A. Cette différence de vitesse correspond à une petite vitesse vers l'est de ω·h, donc la déviation vers l'est est simplement ω·h·T0.

Il se trompait ainsi d'un facteur 2/3. Il le prit vite en compte en comprenant que, au cours d'une aussi longue trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.), il fallait compter avec le changement de direction de la pesanteur, sur une terre ronde et non plate : la trajectoire n'est donc pas parabolique.

Bibliographie

  • Lev Landau & Evguéni Lifchitz ; Cours de physique théorique - Tome 1 : Mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou...), Mir (4ème édition-1982), ISBN 5-03-000198-0.
Page générée en 0.101 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique