Courbe de Bézier
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Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques décrites pour la première fois en 1962 par l'ingénieur français Pierre Bézier qui les utilisa pour concevoir des pièces d'automobiles à l'aide d'ordinateurs. Elles ont de nombreuses applications dans la synthèse d'images et le rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de modélisation 3D comportant à la fois des objets et des sources de...) de fontes. Elles ont donné naissance à de nombreux autres objets mathématiques.

Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) générale

Pour n+1 points de contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.) (P_0, \dots, P_n), on définit une courbe de Bézier (Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques décrites pour la première fois en 1962 par l'ingénieur français Pierre Bézier qui les utilisa pour concevoir des pièces d'automobiles à l'aide...) par l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des points \sum_{i=0}^n B_i^n(t)P_i, t \in[0,1] et où les B_i^n sont les polynômes de Bernstein. Le polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique...) P_0, \dots, P_n est appelé " polygone convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube...) de Bézier ".

Remarque : Puisque \sum_{i=0}^n B_i^n(t) = 1, alors la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...) est correctement définie. Chaque point (Graphie) de la courbe peut être vu comme un barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond) des points de contrôle.

Propriétés :

  • La courbe est à l'intérieur de l'enveloppe convexe (En mathématiques, l'enveloppe convexe d'un objet ou d'un ensemble d'objets est l'ensemble convexe de taille minimale qui contient ces objets. L'enveloppe convexe...) des points de contrôle.
  • La courbe commence par le point P0 et se termine par le point Pn, mais ne passe pas a priori par les autres points de contrôle qui déterminent cependant l'allure générale de la courbe.
  • \overrightarrow{P_0P_1} est le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un...) tangent à la courbe en P0 et \overrightarrow{P_{n-1}P_n} au point Pn.
  • Une courbe de Bézier est infiniment dérivable.
  • La courbe de Bézier est un segment si et seulement si les points de contrôle sont alignés.
  • Chaque restriction d'une courbe de Bézier est aussi une courbe de Bézier.
  • Un arc de cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette...) ne peut pas être décrit par une courbe de Bézier, quel que soit son degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :).
  • Le contrôle de la courbe est global : modifier un point de contrôle modifie toute la courbe, et non pas un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales...) du point de contrôle.
  • Pour effectuer une transformation affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) de la courbe, il suffit d'effectuer la transformation sur tous les points de contrôle.

Technique

Quatre points P0, P1, P2 et P3 définissent une courbe de Bézier cubique. La courbe se trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil...) en partant du point P0, en se dirigeant vers P1 et en arrivant au point P3 selon la direction P2-P3. En général, la courbe ne passe ni par P1 ni par P2 : ces points sont simplement là pour donner une information de direction. La distance entre P0 et P1 détermine la " longueur " du déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et...) dans la direction de P1 avant de tourner vers P3.

La forme paramétrique de la courbe s'écrit:

P(t) = P0 (1 - t)3 + 3 P1 t (1 - t)2 + 3 P2 t2 (1 - t) + P3 t3    pour 0 ≤ t ≤ 1.

Remarquons que les coefficients binomiaux apparaissent dans l'ordre (1, 3, 3, 1). La formule est inspirée d'une loi binomiale (En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p correspond au modèle suivant :) et montre que la courbe est toujours complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à...) contenue dans l'enveloppe convexe des quatre points donnés. Les courbes de Bézier sont intéressantes pour le traitement des images pour deux raisons principales :

  • Les points peuvent être rapidement calculés en utilisant une procédure récursive qui utilise la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de la fonction "multiplication par ce...) par deux et les opérations de base en évitant toutes les opérations de l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes....) des nombres réels flottants.
\begin{pmatrix}A'\\B'\\C'\\D'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\{1\over 2}&{1\over 2}&0&0\\{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}&0\\{1\over 8}&{3\over 8}&{3\over 8}&{1\over 8}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}
ou
 
 D\leftarrow (C+D)/2, 
 C\leftarrow (B+C)/2, D\leftarrow (C+D)/2, 
 B\leftarrow (A+B)/2, C\leftarrow (B+C)/2, D\leftarrow(C+D)/2 
 

Plus précisément, on peut décomposer la courbe P(t) en deux courbes PL et PR dont les points de contrôles sont respectivement (L1, L2,L3,L4) et (R1, R2,R3,R4) avec

\begin{pmatrix}L_1'\\L_2'\\L_3'\\L_4'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\{1\over 2}&{1\over 2}&0&0\\{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}&0\\{1\over 8}&{3\over 8}&{3\over 8}&{1\over 8}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}R_1'\\R_2'\\R_3'\\R_4'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {1\over 8}&{3\over 8}&{3\over 8}&{1\over 8}\\ 0&{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}\\ 0&0&{1\over 2}&{1\over 2}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}

Image:Bezier_rec.png

Lors de cet appel récursif pour tracer P(t), étant donné que la courbe de Bézier passe par le premier et le dernier point de contrôle, la position des extrémités de chaque morceau (L1, L4=R1 et R4) est connue. Lorsque l'on implémente un tel tracé, le critère d'arrêt de la récurrence peut être lié à la distance entre la sous-courbe à tracer et le segment [L1,L4] par exemple.

Le calcul d'un point d'une courbe de Bézier peut également s'effectuer en utilisant la méthode de Horner (La méthode de Horner est utilisée dans le calcul polynomial, soit pour calculer la valeur d'une fonction polynomiale en un point, soit pour calculer le quotient d'un polynôme par X - a.) en calculant préalablement les coefficients vectoriels \mathbf{a_i} du polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en...):

\mathbf{a_i}=\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} \begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix} \mathbf{P_j} \qquad \mbox{pour} \qquad  i=0...m

Exemples

Courbe de Bézier linéaire (de degré 1)

Les points de contrôle P0 et P1 définissent la courbe de Bézier donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) par l'équation :

\mathbf{B}(t)=(1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1 \mbox{ , } t \in [0,1].

Il s'agit donc du segment [P0, P1].

Courbe de Bézier quadratique (de degré 2)

Une courbe de Bézier quadratique est la courbe B(t) définie par les points de contrôle P0, P1 et P2.

\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P_0} + 2t(1 - t)\mathbf{P_1} + t^{2}\mathbf{P_2} \mbox{ , } t \in [0,1].
Courbe de Bézier cubique (de degré 3)

Ce sont les courbes de Bézier les plus utilisées (car elles permettent d'assurer la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable...) en tangence et en courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet...) de deux courbes raccordées).

Une courbe de Bézier cubique est la courbe B(t) définie par les points de contrôle P0, P1, P2 et P3. Sa forme paramétrique est :

\mathbf{B}(t)=\mathbf{P_0}(1-t)^3+3\mathbf{P_1}t(1-t)^2+3\mathbf{P_2}t^2(1-t)+\mathbf{P_3}t^3 \mbox{ , } t \in [0,1].
Courbe de Bézier de degré supérieur à 3

Elles sont rarement utilisées. On préfère se ramener à l'utilisation de courbes cubiques que l'on raccorde. Pour cela, il faut et il suffit que le dernier point d'une courbe soit le premier d'une autre. On obtient ainsi une courbe continue.

Par exemple, pour une courbe définie par les points A, B, C, D, E, F et G, on utilise les courbes cubiques définies par A, B, C, et D, et par D, E, F, et G et la continuité est ainsi assurée. Pour avoir une courbe C1 en D, il faut que [C, D] = [D, E], et si en plus on veut qu'elle soit C2 en D, alors [B, D] = [D, F], et de même pour les dérivées successives.

Applications

Synthèse d'images
  • Les courbes de Bézier composent l'outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par une plus grande rentabilisation...) de la base du dessin vectoriel qui repose sur la transcription mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) des objets.
  • Les courbes de Bézier cubiques, les plus utilisées, se retrouvent en graphisme et dans de multiples systèmes de synthèse d'images, tels que PostScript, Metafont et The GIMP (GIMP (prononcez /gimp/), signifiant GNU Image Manipulation Program, littéralement « programme GNU de manipulation d'images », anciennement General Image Manipulation Program, est un logiciel de traitement d'image...), pour dessiner des courbes " lisses " joignant des points ou des polygones de Bézier.
Rendus de fontes
  • Les textes sont également définis par des courbes de Bézier dans le cadre des fonctions de PAO comme la mise en page complexe, la gestion de bloc de texte, les habillages.
  • Les fontes TrueType utilisent des courbes de Bézier quadratiques plus simples.

Courbe de Bézier rationnelle

Pour décrire très exactement des courbes comme les cercles (bien qu'en pratique les approximations par les courbes de Bézier soient suffisantes), il faut des degrés de liberté supplémentaires.

L'idée est d'ajouter des poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du...) aux points de contrôle (ce sont les ωi). Le dénominateur n'est là que pour normaliser la somme des poids supplémentaires, afin que la courbe soit correctement définie.

Forme générale d'une courbe de Bézier rationnelle :

\mathbf{B}(t) = \frac{\sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) \omega_i \mathbf{P}_{i} } {\sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) w_i }
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