Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties.
En mécanique classique, elles interviennent naturellement dans tous les problèmes présentant une symétrie de rotation en l'origine, à l'instar du champ gravitationnel d'une boule de densité volumique massique uniforme.
Les coordonnées polaires d'un point M du plan vectoriel orienté (d'origine O) sont la donnée conjointe de :
Remarque : il n'y a pas unicité dans la définition des coordonnées polaires : on dispose d'une certaine liberté quant au choix de la coordonnée angulaire θ. Entre autres choses :
Si on veut un choix univoque de r et θ (ce qui n'est pas toujours judicieux), il faut abandonner le point 0. Pour les autres points, on peut imposer r>0 et θ appartenant à ]-π,π] par exemple.
Désignons par (x,y) les coordonnées cartésiennes du point M et par (r,θ) ses coordonnées polaires. Le passage d'un système de coordonnées à l'autre est donné par les formules suivantes :
Une autre formule possible (qui revient à séparer des cas, et qui pose encore des problèmes pour les cas limites)
où u0 est la fonction de Heaviside qui vaut 0 si x est strictement négatif et 1 si x est positif (ou nul), et sgn(y) est le signe de y (-1 si y est négatif, +1 si y est positif).
L'application est un difféomorphisme local.
Le revêtement universel de est .
Dans l'espace à trois dimensions, un point M est repéré par
Le passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes (x,y,z) se fait par :
soit en différentiant
Dans l'autre sens :
et en différentiant :
Les coordonnées sphériques d'un point M de l'espace euclidien R3 sont la donnée conjointe de :
Il existe plusieurs façons de définir ces angles. La définition développée ci après prend θ azimutal (ou longitudinal) et φ colatitudinal. Pour des applications en physique, il est plutôt d'usage de prendre φ azimutal, et θ colatitudinal. Ainsi :
Remarque: On peut également prendre pour défintion de l'angle φ celui que fait le vecteur par rapport à Ox, Ce qui changerait toutes les relations qui vont suivre.
Le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes (x,y,z) se fait par :
si l'on différentie, on obtient
Dans l'autre sens :
et en différentiant :
Le passage des coordonnées cylindriques (r,θcyl,h) aux coordonnées sphériques (ρ,θsph,φ) se fait par :
soit en dérivant :
(on a θ = θcyl = θsph)
Le passage des coordonnées sphériques (ρ,θsph,φ) aux coordonnées cylindriques (r,θcyl,h) se fait par :
soit en dérivant :
(même remarque que ci-dessus).
Si l'on ne s'intéresse qu'à l'orientation dans l'espace, on n'utilise pas ρ, par contre, il faut définir un troisième angle ω qui est la rotation autour de l'axe OM. Cette généralisation des coordonnées sphériques (θ,φ,ω) est en fait une définition des angles d'Euler, mais avec des rotations différentes des rotations habituelles :
Cette définition n'est pas utilisée, mais elle est présentée ici à titre pédagogique : elle permet de comprendre simplement la notion d'orientation et d'angle d'Euler lorsque l'on a compris celle de coordonnées sphériques.