Plan (mathématiques) - Définition et Explications

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En mathématiques, un plan est un objet fondamental à deux dimensions. Intuitivement il peut être visualisé comme une feuille d'épaisseur nulle qui s'étend à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...). L'essentiel du travail fondamental en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) et en trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...) s'effectue en deux dimensions donc dans un plan.

Définitions

Dans les Éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...), seule la notion de figure plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...) est définie. Une figure plane est une figure contenue dans la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) balayée par une droite dont un point (Graphie) est fixé et le second assujetti à se déplacer sur une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) droite[1]. Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) repose malheureusement sur la définition donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) de surface qui manquait de précision. Dans la présentation actuelle des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), un plan vectoriel ou affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) est défini comme un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) linéaire :

  • Un Plan (vectoriel ou affine) est un K-espace vectoriel ou un K-espace affine de dimension deux, où K désigne un corps.

Le cas le plus fréquent correspond à celui ou le corps K est celui des nombres réels. Ainsi le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque...) désigne le corps des nombres complexes considéré comme un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) deux sur le corps des réels.

Un cas important est celui où un plan désigne un sous-espace affine de dimension deux dans un espace de dimension trois sur le corps des réels. Cette situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un...) modèlise simplement notre géométrie.

Il existe alors de nombreuses manières de définir un plan, notamment :

  • Le plus petit espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de...) contenant trois points distincts et non alignés;
  • Le plus petit espace affine contenant une droite et un point n'appartenant pas à cette droite;
  • Le plus petit espace affine contenant deux droites non confondues et sécantes;
  • Le plus petit espace affine contenant deux droites non confondues et parallèles;
  • Le plus petit espace affine contenant un point et un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) normal;
  • Le plus petit espace affine contenant un point et deux vecteurs non colinéaires.

Par la suite, nous utiliserons les deux dernières définitions pour l'élaboration des équations du plan.

Positions relatives de deux plans

Dans un espace en trois dimensions, il n'existe que deux positions relatives de deux plans :

  • parallèles : strictement (intersection vide) ou bien confondus;
  • sécants : leur intersection est alors une droite. Ils peuvent être orthogonaux (une droite de l'un est orthogonale à deux droites sécantes de l'autre).

Positions relatives d'un plan et d'une droite

Dans un espace en trois dimensions, il n'existe que deux positions relatives d'un plan et d'une droite :

  • parallèles : leur intersection est soit vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), soit la droite tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) entière (droite incluse dans le plan);
  • sécants : leur intersection est un point.

Équations dans un espace de dimension trois

Définition par deux vecteurs et un point

Soit un point A(a_1;a_2;a_3)\, par lequel passe le plan et \vec u = \begin{bmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{bmatrix} et \vec v = \begin{bmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{bmatrix} les vecteurs directeurs non colinéaires qui définissent son orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil...).

Combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire

Le plan passant par A, de vecteurs directeurs \vec u et \vec v, est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) \Pi\, des points M(x;y;z)\, pour lesquels il existe deux scalaires \lambda\, et \mu\, tel que :

\Pi : \vec{OM} = \vec{OA} + \lambda\vec u + \mu\vec v (équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) vectorielle)

ou

\Pi : \begin{cases} x = a_1 + \lambda v_1 + \mu u_1 \\  y = a_2 + \lambda v_2 + \mu u_2 \\  z = a_3 + \lambda v_3 + \mu u_3 \end{cases}\quad \mbox{avec } (\lambda,\mu)\in\R^2 (équations paramétriques)

Coplanarité

Soit M(x;y;z)\, un point quelconque du plan et \vec{AM} = \begin{bmatrix}x - a_1\\ y - a_2\\ z - a_3\end{bmatrix} le vecteur défini par le bipoint (A;M)\,.

Pour que ces trois vecteurs soient coplanaires, il faut que leur produit mixte soit nul :

(\vec{AM} \times \vec u) \cdot \vec v = [\vec{AM},\vec u,\vec v] = 0
= \begin{vmatrix} x-a_1 && u_1 && v_1 \\ y-a_2 && u_2 && v_2 \\ z-a_3 && u_3 && v_3 \end{vmatrix} = u_2v_3(x-a_1) + u_3v_1(y-a_2) + u_1v_2(z-a_3) - u_2v_1(z-a_3) - u_3v_2(x-a_1) - u_1v_3(y-a_2)

En mettant en évidence les termes :

[\vec{AM},\vec u,\vec v] = (u_2v_3 - u_3v_2)x\quad +\quad (u_3v_1 - u_1v_3)y\quad +\quad (u_1v_2 - u_2v_1)z\quad -\ u_2v_3a_1 - u_3v_1a_2 - u_1v_2a_3 + u_2v_1a_3 + u_3v_2a_1 + u_1v_3a_2\,

On distingue 4 parties, 4 nombres que nous appellerons A,B,C,D. Nous pouvons ainsi écrire l'équation cartésienne du plan :

\Pi : Ax + By + Cz + D = 0\,

Nous remarquons en outre que les nombres A,B et C sont les composantes du vecteur \vec u \wedge \vec v, le résultat du produit vectoriel (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel...) des deux vecteurs directeurs. Celui-ci étant orthogonal au plan, on définit le vecteur normal au plan :

\vec n = \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \cdot \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}

Définition par un vecteur normal et un point

Orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire...)

Le plan passant par A(a_1;a_2;a_3)\,, de vecteur normal \vec n, est l'ensemble \Pi\, des points M(x;y;z)\, pour lesquels le vecteur les reliant au point A est orthogonal au vecteur normal; autrement dit pour lesquels le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...) entre ces vecteurs est nul :

\Pi : \vec n\cdot\vec{AM} = 0

avec

\vec{AM} = \vec{OM}-\vec{OA} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x - a_1\\ y - a_2\\ z - a_3\end{bmatrix}

Cette définition amène ainsi à l'équation cartésienne :

\vec n\cdot\vec{AM} = \vec n\cdot(\vec{OM}-\vec{OA})= \vec n\cdot\vec{OM}-\vec n\cdot\vec{OA} = 0
\Rightarrow n_1x+n_2y+n_3z-(n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3) = 0\,

On identifie généralement le quadruplet (n_1;n_2;n_3;-\vec n\cdot\vec{OA}) aux lettres (A,B,C,D)\, et on appelle équation cartésienne du plan l'équation :

\Pi : Ax+By+Cz+D=0\,
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