Plan (mathématiques)
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En mathématiques, un plan est un objet fondamental à deux dimensions. Intuitivement il peut être visualisé comme une feuille d'épaisseur nulle qui s'étend à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre...). L'essentiel du travail fondamental en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) et en trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et...) s'effectue en deux dimensions donc dans un plan.

Définitions

Dans les Éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce...), seule la notion de figure plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes courbes,...) est définie. Une figure plane est une figure contenue dans la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...) balayée par une droite dont un point (Graphie) est fixé et le second assujetti à se déplacer sur une seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de...) droite[1]. Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) repose malheureusement sur la définition donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) de surface qui manquait de précision. Dans la présentation actuelle des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...), un plan vectoriel ou affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) est défini comme un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction...) de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une...) linéaire :

  • Un Plan (vectoriel ou affine) est un K-espace vectoriel ou un K-espace affine de dimension deux, où K désigne un corps.

Le cas le plus fréquent correspond à celui ou le corps K est celui des nombres réels. Ainsi le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.) désigne le corps des nombres complexes considéré comme un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) deux sur le corps des réels.

Un cas important est celui où un plan désigne un sous-espace affine de dimension deux dans un espace de dimension trois sur le corps des réels. Cette situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un cadre plus général afin de le qualifier...) modèlise simplement notre géométrie.

Il existe alors de nombreuses manières de définir un plan, notamment :

  • Le plus petit espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient en cause les notions de...) contenant trois points distincts et non alignés;
  • Le plus petit espace affine contenant une droite et un point n'appartenant pas à cette droite;
  • Le plus petit espace affine contenant deux droites non confondues et sécantes;
  • Le plus petit espace affine contenant deux droites non confondues et parallèles;
  • Le plus petit espace affine contenant un point et un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un...) normal;
  • Le plus petit espace affine contenant un point et deux vecteurs non colinéaires.

Par la suite, nous utiliserons les deux dernières définitions pour l'élaboration des équations du plan.

Positions relatives de deux plans

Dans un espace en trois dimensions, il n'existe que deux positions relatives de deux plans :

  • parallèles : strictement (intersection vide) ou bien confondus;
  • sécants : leur intersection est alors une droite. Ils peuvent être orthogonaux (une droite de l'un est orthogonale à deux droites sécantes de l'autre).

Positions relatives d'un plan et d'une droite

Dans un espace en trois dimensions, il n'existe que deux positions relatives d'un plan et d'une droite :

  • parallèles : leur intersection est soit vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), soit la droite tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entière (droite incluse dans le plan);
  • sécants : leur intersection est un point.

Équations dans un espace de dimension trois

Définition par deux vecteurs et un point

Soit un point A(a_1;a_2;a_3)\, par lequel passe le plan et \vec u = \begin{bmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{bmatrix} et \vec v = \begin{bmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{bmatrix} les vecteurs directeurs non colinéaires qui définissent son orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la...).

Combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire

Le plan passant par A, de vecteurs directeurs \vec u et \vec v, est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) \Pi\, des points M(x;y;z)\, pour lesquels il existe deux scalaires \lambda\, et \mu\, tel que :

\Pi : \vec{OM} = \vec{OA} + \lambda\vec u + \mu\vec v (équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) vectorielle)

ou

\Pi : \begin{cases} x = a_1 + \lambda v_1 + \mu u_1 \\  y = a_2 + \lambda v_2 + \mu u_2 \\  z = a_3 + \lambda v_3 + \mu u_3 \end{cases}\quad \mbox{avec } (\lambda,\mu)\in\R^2 (équations paramétriques)

Coplanarité

Soit M(x;y;z)\, un point quelconque du plan et \vec{AM} = \begin{bmatrix}x - a_1\\ y - a_2\\ z - a_3\end{bmatrix} le vecteur défini par le bipoint (A;M)\,.

Pour que ces trois vecteurs soient coplanaires, il faut que leur produit mixte soit nul :

(\vec{AM} \times \vec u) \cdot \vec v = [\vec{AM},\vec u,\vec v] = 0
= \begin{vmatrix} x-a_1 && u_1 && v_1 \\ y-a_2 && u_2 && v_2 \\ z-a_3 && u_3 && v_3 \end{vmatrix} = u_2v_3(x-a_1) + u_3v_1(y-a_2) + u_1v_2(z-a_3) - u_2v_1(z-a_3) - u_3v_2(x-a_1) - u_1v_3(y-a_2)

En mettant en évidence les termes :

[\vec{AM},\vec u,\vec v] = (u_2v_3 - u_3v_2)x\quad +\quad (u_3v_1 - u_1v_3)y\quad +\quad (u_1v_2 - u_2v_1)z\quad -\ u_2v_3a_1 - u_3v_1a_2 - u_1v_2a_3 + u_2v_1a_3 + u_3v_2a_1 + u_1v_3a_2\,

On distingue 4 parties, 4 nombres que nous appellerons A,B,C,D. Nous pouvons ainsi écrire l'équation cartésienne du plan :

\Pi : Ax + By + Cz + D = 0\,

Nous remarquons en outre que les nombres A,B et C sont les composantes du vecteur \vec u \wedge \vec v, le résultat du produit vectoriel (Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel...) des deux vecteurs directeurs. Celui-ci étant orthogonal au plan, on définit le vecteur normal au plan :

\vec n = \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \cdot \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}

Définition par un vecteur normal et un point

Orthogonalité

Le plan passant par A(a_1;a_2;a_3)\,, de vecteur normal \vec n, est l'ensemble \Pi\, des points M(x;y;z)\, pour lesquels le vecteur les reliant au point A est orthogonal au vecteur normal; autrement dit pour lesquels le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe...) entre ces vecteurs est nul :

\Pi : \vec n\cdot\vec{AM} = 0

avec

\vec{AM} = \vec{OM}-\vec{OA} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x - a_1\\ y - a_2\\ z - a_3\end{bmatrix}

Cette définition amène ainsi à l'équation cartésienne :

\vec n\cdot\vec{AM} = \vec n\cdot(\vec{OM}-\vec{OA})= \vec n\cdot\vec{OM}-\vec n\cdot\vec{OA} = 0
\Rightarrow n_1x+n_2y+n_3z-(n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3) = 0\,

On identifie généralement le quadruplet (n_1;n_2;n_3;-\vec n\cdot\vec{OA}) aux lettres (A,B,C,D)\, et on appelle équation cartésienne du plan l'équation :

\Pi : Ax+By+Cz+D=0\,
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