Série hypergéométrique
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En mathématiques, une série hypergéométrique est la somme d'une suite de termes tels que le quotient du terme d'indice k+1 par le terme d'indice k est une fonction rationnelle de k.

La série, lorsqu'elle converge, définit une fonction hypergéométrique qui peut ensuite être étendue à un domaine plus grand par prolongement analytique. On écrit généralement la série hypergéométrique (En mathématiques, une série hypergéométrique est la somme d'une suite de termes tels que le quotient du terme d'indice k+1 par le terme d'indice k est...) comme suit :

\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;x)=\sum_{k=0}^\infty c_k x^k

c0=1 et

\frac{c_{k+1}}{c_k}=\frac{(k+a_1)(k+a_2)\cdots(k+a_p)}{(k+b_1)(k+b_2)\cdots(k+b_q)}\,\frac{1}{k+1}.

On peut aussi l'écrire :

\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(a_1)_k(a_2)_k\ldots(a_p)_k}{(b_1)_k(b_2)_k\ldots(b_q)_k}\,\frac{x^k}{k!}

(a)_k=a(a+1)\ldots(a+k-1) est la factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit « factorielle de n » soit « factorielle n », est le produit des nombres entiers strictement positifs...) croissante ou symbole de Pochhammer.

Introduction

Une serie hypergéométrique est une série formelle (En mathématiques, les séries formelles sont un outil qui permet d'utiliser l'arsenal analytique des séries entières sans tenir compte de la notion de convergence. Ces séries sont...) dans laquelle le quotient des coefficients successifs \alpha_n/\alpha_{n-1}\, est une fraction rationnelle de n : il existe des polynômes \tilde P(n) et \tilde Q(n) tels que

\frac{\alpha_n}{\alpha_{n-1}} = \frac{\tilde P(n)}{\tilde Q(n)}

Ainsi, par exemple, dans le cas d'une série géométrique, ce quotient est une constante. Un autre exemple est la serie de Taylor de la fonction exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions...)

\alpha_n/\alpha_{n-1}=z/n\,.

En pratique, la série est écrite comme une série génératrice exponentielle, en modifiant les coefficients pour que le terme général de la série soit de la forme

\alpha_n = \beta_n z^n /n!\,

et β0 = 1. Ici la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un...) z correspond à une constante dans le quotient \tilde P/\tilde Q. On va se servir de la fonction exponentielle comme modèle pour la suite.

De nombreuses suites intéressantes en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) ont la propriété que le quotient de deux termes successifs est une fraction rationnelle. Cependant, lorsqu'on les encode dans une série génératrice exponentielle, celle-ci a un rayon de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) non nul seulement sous certaines conditions. Par convention, le terme de série hypergéométrique est d'ordinaire réservé au cas où la série definit une vraie fonction analytique avec un rayon de convergence strictement positif. Une telle fonction et son prolongement analytique éventuel est appelée une fonction hypergéométrique.

Des conditions de convergence ont été données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) par Carl Friedrich Gauss, dans le cas de

\frac{\beta_n}{\beta_{n-1}} = \frac{(n+a)(n+b)}{(n+c)},

qui correspond à la série hypergéométrique standard classique

\,_2F_1(a,b;c;z).

Notation

La notation standard pour la série hypergéométrique générale est

\,_mF_p,

où les entiers m et p sont les degrés des polynômes P et Q dans le quotient

\frac{\beta_n}{\beta_{n-1}} = \frac{P(n)}{Q(n)}.

Si m>p+1, le rayon de convergence est nul et il n'y a pas de fonction analytique associée. La série se termine au bout d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de termes si jamais P(n) s'annule en un entier naturel n. Si Q(n) est nul, les termes de la suite ne sont pas définis.

La notation complète pour F suppose que P et Q sont unitaires et factorisés, de telle sorte qu'elle comprend un m-uplet qui est la liste des zéros de P et un p-uplet pour ceux de Q. Par le théorême fondamental de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une...), ceci n'est pas vraiment une restriction. Par ailleurs, on peut aussi absorber les coefficients dominants de P ou Q en changeant z. Sous cette forme, le terme général de la suite est un produit de quotients de symboles de Pochhammer. Comme la notation de Pochhammer pour les factorielles ascendantes est traditionnelle, il est plus commode d'indexer F par les listes des opposés des zéros de P et Q. Ainsi, on a

\,_2F_1 (a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty  \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \, \frac {z^n} {n!}

(a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\, est la factorielle croissante ou Symbole de Pochhammer. Dans cet exemple, les zéros de P sont −a et −b, et le zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en...) de Q est −c.

Cas particuliers et applications

Les polynômes orthogonaux classiques s'expriment tous comme des cas particuliers de 2F1 avec au moins un des parametres a et b entier negatif. De même, les fonctions de Legendre sont aussi des cas particuliers.

Les applications des séries hypergéométriques comprennent aussi l'inversion des intégrales elliptiques.

La fonction de Kummer (En mathématiques, il existe plusieurs fonctions connues sous le nom fonction de Kummer. L'une d'elle est connue comme la fonction hypergéométrique confluente de Kummer et de E. T. Whittaker. Une autre, définie ci-dessous, est reliée à la...) 1F1(a,b;x) est une fonction hypergéométrique confluente.

La fonction 2F1 a plusieurs representations intégrales, dont l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un...) hypergéométrique d'Euler.

Histoire et généralisations

Les travaux du XIXe siècle comprennent ceux de Ernst Kummer et la caractérisation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) par Bernhard Riemann de la fonction F par le biais de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) différentielle qu'elle vérifie. Riemann a demontré que l'équation différentielle du second ordre (en la variable z) pour F, considérée dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.), pouvait être caractérisée (sur la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point...) de Riemann) par ses trois singularités régulières : que toute la partie algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est à dire de processus systématiques de résolution, par le...) de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) était une conséquence de résultats de base et de l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) des transformations de Möbius comme groupe de symétrie.

Par la suite, les series hypergéométriques ont été généralisées au cas de plusieurs variables complexes, par exemple par Paul Appell, mais une théorie générale comparable a mis du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) à apparaître. De nombreuses identités ont été découvertes, dont quelques unes remarquables. Des analogues avec un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) q ont été trouvées. Durant le XXe siècle, les fonctions hypergéométriques ont formé une partie active des mathématiques combinatoires, avec de nombreuses interactions avec les autres domaines. Il y a plusieurs définitions nouvelles de généralisations des fonctions hypergéométriques, notamment par Aomoto et Gel'fand. Il y a des applications à la combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles finis, et les dénombrements.) des arrangements d'hyperplans.

On peut définir des séries hypergéométriques sur des espaces symétriques riemanniens et sur des groupes de Lie semi-simples. Leur importance transparait dans l'exemple suivant : la serie hypergéométrique 2F1 est très proche des polynômes de Legendre (Les polynômes de Legendre sont des solutions y de l'équation différentielle de Legendre :) et exprime, vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme harmonique sphérique (On dit qu'une fonction est harmonique si son laplacien est nul.), les propriétés de symétrie de la sphère de Riemann (En mathématiques, la sphère de Riemann est une manière de prolonger le plan des nombres complexes avec un point additionnel à l'infini, de manière à ce que certaines expressions mathématiques deviennent...).

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