Harmonique sphérique - Définition

Introduction

En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques particulières. À titre de rappel, une fonction est dite harmonique lorsque son laplacien est nul. Les harmoniques sphériques sont particulièrement utiles pour résoudre des problèmes invariants par rotation, car elles sont les vecteurs propres de certains opérateurs liés aux rotations.

Les polynômes harmoniques P(x,y,z) de degré l forment un espace vectoriel de dimension 2l + 1, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques à l'aide de 2l + 1 combinaisons  :

,

avec .

Les coordonnées sphériques sont, respectivement, la distance au centre de la sphère, la colatitude et la longitude.

Tout polynôme homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité S².

C'est pourquoi la partie radiale de l'équation de Laplace, différente selon le problème étudié n'apparaît pas ici.

Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique mathématique, dès qu'intervient la notion d'orientation (anisotropie) et donc de rotation (groupe de symétrie orthogonal SO(3)) et que le laplacien entre en jeu :

• en acoustique (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs)
• en théorie du potentiel newtonien (électrostatique, mécanique), gravimétrie ...
• en géophysique (représentation du globe terrestre, en météorologie)
• en cristallographie pour la texture,
• en physique quantique (développement d'une fonction d'onde, densité du nuage électronique, description des orbitales atomiques de l'atome d'hydrogène)
• etc.

Résolution de l'équation de Laplace

On cherche les fonctions sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :

où k est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une équation différentielle linéaire d'ordre deux pour la fonction P_l,m(cosθ) :

On fait le changement de variable : qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :

Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de m :

Les fonctions propres P_l,m(x) se construisent à partir des polynômes de Legendre P_l(x) qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas m = 0 :

On a la formule génératrice d'Olinde Rodrigues :

On construit alors les fonctions propres P_l,m(x) par la formule :

soit explicitement :

Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions P_l,m(x) pour , car il existe une relation simple entre P_l,m(x) et P_{l, − m}(x) :

Expression des harmoniques sphériques

On obtient alors l'expression inscrite plus bas. Une manière simple de retenir cette expression est la suivante :

,

où Pl(x) est le polynôme de Legendre de degré l.

On obtient ensuite :

où

est l'opérateur « d'échelle montante ».

Pour m négatif,

Note : on pourra soi-même intuiter l'existence d'un opérateur d'échelle descendante, et vérifier la cohérence des résultats obtenus.

Souvent cette base se note  :

toute fonction sur la sphère S² pourra donc s'écrire :

(en convention de sommation d'Einstein), les coefficients complexes f(l,m) jouant le rôle de composantes de f dans la base des (on dit parfois coefficients de fourier généralisés).

En chimie ou en géophysique, il arrive qu'on préfère utiliser les harmoniques sphériques « réelles » et des coefficients de fourier réels.

Expression mathématique

Les harmoniques sphériques formant une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue se décompose en une série d'harmoniques sphériques :

où l et m sont des indices entiers, C_l^m est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base.

Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.

Y_l^m est la partie réelle d'une fonction complexe Y_l^m

Y_l^m est appelée « fonction associée de Legendre » et est définie par

où i est l'imaginaire et P_l^m est le polynôme de Legendre :

On a donc

On a par exemple :

• (Y₀⁰ est isotrope) ;
•  ;
•  ;
•  ;

Les fonctions Y_l^m(θ, φ) présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que l croît (sauf lorsque l = 0, puisque Y₀⁰ est une fonction constante et décrit donc une sphère).

Polynômes de Legendre

Pour les harmoniques circulaires, on utilise des polynômes P_l de la fonction cosinus :

Y_l(θ) = P_l(cosθ)

Les polynômes P_l utilisés sont les polynômes de Legendre¹ :

(formule de Rodrigues, mathématicien suisse)

On obtient :

• (fonction isotrope) ;
•  ;
•  ;
•  ;